Pré-cálculo Exemplos

$\tan^{2} (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{\sin (x)}{\cos (x)})}^{2} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos^{2} (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.1.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x) \cos (x)} \cos (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x) = 0$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} - \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 4

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)} + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 4.2

Reescreva a expressão.

$\sin^{2} (x) + \cos (x) (- \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\sin^{2} (x) - \cos (x) \cos (x) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6

Multiplique $- \cos (x) \cos (x)$ .

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Etapa 6.1

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.2

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$\sin^{2} (x) - (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin^{2} (x) - {\cos (x)}^{1 + 1} = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 6.4

Some $1$ e $1$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \cos (x) \cdot 0$

Etapa 7

Multiplique $\cos (x)$ por $0$ .

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Etapa 8

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \sin (x)$ e $b = \cos (x)$ .

$(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$

Etapa 9

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 10

Defina $\sin (x) + \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 10.1

Defina $\sin (x) + \cos (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Etapa 10.2

Resolva $\sin (x) + \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 10.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 10.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.4

Separe as frações.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 10.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 10.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 10.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 10.2.8

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 10.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 10.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.2.10.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 10.2.11

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 10.2.12

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.2.12.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 10.2.12.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 10.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.2.14

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.2.14.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 10.2.14.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.2.14.3

Combine frações.

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Etapa 10.2.14.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.2.14.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 10.2.14.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.14.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 10.2.14.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 10.2.14.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.2.15

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 11

Defina $\sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 11.1

Defina $\sin (x) - \cos (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) - \cos (x) = 0$

Etapa 11.2

Resolva $\sin (x) - \cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 11.2.1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 11.2.2

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 11.2.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) + \frac{- \cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 11.2.3.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 11.2.4

Separe as frações.

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 11.2.5

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 11.2.6

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) - 1 = 0 \sec (x)$

Etapa 11.2.7

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - 1 = 0$

Etapa 11.2.8

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan (x) = 1$

Etapa 11.2.9

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (1)$

Etapa 11.2.10

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.10.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.11

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.12

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 11.2.12.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.12.2

Combine frações.

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Etapa 11.2.12.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 11.2.12.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 11.2.12.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.2.12.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 11.2.12.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 11.2.13

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 11.2.13.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 11.2.13.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 11.2.13.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 11.2.13.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 11.2.14

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

A solução final são todos os valores que tornam $(\sin (x) + \cos (x)) (\sin (x) - \cos (x)) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$