Pré-cálculo Exemplos

$\sqrt{3} \tan (2 x) = 1$

Etapa 1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \tan (2 x) = 1$ por $\sqrt{3}$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\sqrt{3} \tan (2 x) = 1$ por $\sqrt{3}$ .

$\frac{\sqrt{3} \tan (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\sqrt{3}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{3} \tan (2 x)}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\tan (2 x)$ por $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{1}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$

Etapa 1.3.2

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{3}}$ por $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \sqrt{3}}$

Etapa 1.3.2.2

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}$

Etapa 1.3.2.3

Eleve $\sqrt{3}$ à potência de $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}$

Etapa 1.3.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{1 + 1}}$

Etapa 1.3.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{{\sqrt{3}}^{2}}$

Etapa 1.3.2.6

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

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Etapa 1.3.2.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{{(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 1.3.2.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 1.3.2.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.2.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.3.2.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 1.3.2.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3^{1}}$

Etapa 1.3.2.6.5

Avalie o expoente.

$\tan (2 x) = \frac{\sqrt{3}}{3}$

Etapa 2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x = \arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$

Etapa 3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.1

O valor exato de $\arctan (\frac{\sqrt{3}}{3})$ é $\frac{π}{6}$ .

$2 x = \frac{π}{6}$

Etapa 4

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{6}}{2}$

Etapa 4.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.3.2

Multiplique $\frac{π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 4.3.2.1

Multiplique $\frac{π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{6 \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{π}{12}$

Etapa 5

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$2 x = π + \frac{π}{6}$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Simplifique.

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Etapa 6.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$2 x = π \cdot \frac{6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.2

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 6}{6} + \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 x = \frac{π \cdot 6 + π}{6}$

Etapa 6.1.4

Some $π \cdot 6$ e $π$ .

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Etapa 6.1.4.1

Reordene $π$ e $6$ .

$2 x = \frac{6 \cdot π + π}{6}$

Etapa 6.1.4.2

Some $6 \cdot π$ e $π$ .

$2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$

Etapa 6.2

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.1

Divida cada termo em $2 x = \frac{7 \cdot π}{6}$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 6.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\frac{7 \cdot π}{6}}{2}$

Etapa 6.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.3.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$x = \frac{7 \cdot π}{6} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $\frac{7 π}{6} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.2.3.2.1

Multiplique $\frac{7 π}{6}$ por $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{7 π}{6 \cdot 2}$

Etapa 6.2.3.2.2

Multiplique $6$ por $2$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Etapa 7

Encontre o período de $\tan (2 x)$ .

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Etapa 7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 7.2

Substitua $b$ por $2$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 2 |}$

Etapa 7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $2$ é $2$ .

$\frac{π}{2}$

Etapa 8

O período da função $\tan (2 x)$ é $\frac{π}{2}$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $\frac{π}{2}$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}, \frac{7 π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$