Pré-cálculo Exemplos

$\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$

Etapa 1

Reescreva $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{4}{5}} = 256$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Eleve cada lado da equação à potência de $- \frac{5}{4}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1.1

Simplifique ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{- \frac{4}{5}})}^{- \frac{5}{4}}$ .

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Etapa 2.2.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{- \frac{4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.1.1.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{4}{5}$ para o numerador.

$x^{\frac{- 4}{5} (- \frac{5}{4})} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2.2

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{4}$ para o numerador.

$x^{\frac{- 4}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$x^{\frac{4 (- 1)}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2.4

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{4 \cdot - 1}{5} \cdot \frac{- 5}{4}} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.2.5

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot - 5} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 2.2.1.1.1.3.1

Fatore $5$ de $- 5$ .

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 (- 1))} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.3.2

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{- 1}{5} \cdot (5 \cdot - 1)} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.3.3

Reescreva a expressão.

$x^{- - 1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x^{1} = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 256^{- \frac{5}{4}}$

Etapa 2.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.2.1

Simplifique $\pm 256^{- \frac{5}{4}}$ .

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Etapa 2.2.2.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \frac{1}{256^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.2.2.1.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.2.2.1.2.1

Reescreva $256$ como $4^{4}$ .

$x = \pm \frac{1}{{(4^{4})}^{\frac{5}{4}}}$

Etapa 2.2.2.1.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 2.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 2.2.2.1.2.3.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{1}{4^{4 (\frac{5}{4})}}$

Etapa 2.2.2.1.2.3.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{1}{4^{5}}$

Etapa 2.2.2.1.2.4

Eleve $4$ à potência de $5$ .

$x = \pm \frac{1}{1024}$

Etapa 2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{1024}$

Etapa 2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{1024}$

Etapa 2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{1024}, - \frac{1}{1024}$

Etapa 3

Exclua as soluções que não tornam $\log_{x} (256) = - \frac{4}{5}$ verdadeira.

$x = \frac{1}{1024}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{1024}$

Forma decimal:

$x = 0.00097656 \dots$