Pré-cálculo Exemplos

$\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$

Etapa 1

Reescreva $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$x^{- \frac{2}{3}} = \frac{1}{4}$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} = \frac{1}{4}$

Etapa 2.2

Multiplique o numerador da primeira fração pelo denominador da segunda. Defina-o como igual ao produto do denominador da primeira fração e o numerador da segunda fração.

$1 \cdot 4 = x^{\frac{2}{3}} \cdot 1$

Etapa 2.3

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 2.3.1

Reescreva a equação como $x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$ .

$x^{\frac{2}{3}} \cdot 1 = 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo e simplifique.

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Etapa 2.3.2.1

Multiplique $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1 \cdot 4$

Etapa 2.3.2.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 4$

Etapa 2.3.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4

Simplifique o expoente.

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Etapa 2.3.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.3.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 2.3.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 4^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.4.2.1

Simplifique $\pm 4^{\frac{3}{2}}$ .

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Etapa 2.3.4.2.1.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.3.4.2.1.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm {(2^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 2.3.4.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 2.3.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm 2^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 2.3.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm 2^{3}$

Etapa 2.3.4.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x = \pm 8$

Etapa 2.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 2.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 2.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 3

Exclua as soluções que não tornam $\log_{x} (\frac{1}{4}) = - \frac{2}{3}$ verdadeira.

$x = 8$