Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{5} (x - 2) + \log_{5} (x + 2) = 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{5} ((x - 2) (x + 2)) = 1$

Etapa 3

Expanda $(x - 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x (x + 2) - 2 (x + 2)) = 1$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 (x + 2)) = 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{5} (x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Etapa 4

Simplifique os termos.

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Etapa 4.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot 2 - 2 x - 2 \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 2$ e $- 2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 2 x - 2 x - 2 \cdot 2) = 1$

Etapa 4.1.2

Subtraia $2 x$ de $2 x$ .

$\log_{5} (x \cdot x + 0 - 2 \cdot 2) = 1$

Etapa 4.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{5} (x \cdot x - 2 \cdot 2) = 1$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{5} (x^{2} - 2 \cdot 2) = 1$

Etapa 4.2.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$

Etapa 5

Reescreva $\log_{5} (x^{2} - 4) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{1} = x^{2} - 4$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 4 = 5^{1}$ .

$x^{2} - 4 = 5$

Etapa 6.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 6.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 5 + 4$

Etapa 6.2.2

Some $5$ e $4$ .

$x^{2} = 9$

Etapa 6.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{9}$

Etapa 6.4

Simplifique $\pm \sqrt{9}$ .

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Etapa 6.4.1

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{3^{2}}$

Etapa 6.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 3$

Etapa 6.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 3$

Etapa 6.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 3$

Etapa 6.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 3, - 3$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{5} (x - 2) = 1 - \log_{5} (x + 2)$ verdadeira.

$x = 3$