Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 4) (x - 6)) = 3$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 4) (x - 6)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x (x - 6) - 4 (x - 6)) = 3$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 (x - 6)) = 3$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x \cdot x + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (x^{2} + x \cdot - 6 - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 6$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 6 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 6) = 3$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 4$ por $- 6$ .

$\log_{2} (x^{2} - 6 x - 4 x + 24) = 3$

Etapa 1.3.2

Subtraia $4 x$ de $- 6 x$ .

$\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$

Etapa 2

Reescreva $\log_{2} (x^{2} - 10 x + 24) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{3} = x^{2} - 10 x + 24$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$ .

$x^{2} - 10 x + 24 = 2^{3}$

Etapa 3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$x^{2} - 10 x + 24 = 8$

Etapa 3.3

Subtraia $8$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 10 x + 24 - 8 = 0$

Etapa 3.4

Subtraia $8$ de $24$ .

$x^{2} - 10 x + 16 = 0$

Etapa 3.5

Fatore $x^{2} - 10 x + 16$ usando o método AC.

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Etapa 3.5.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $16$ e cuja soma é $- 10$ .

$- 8, - 2$

Etapa 3.5.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 8) (x - 2) = 0$

Etapa 3.6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.7

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 3.7.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 3.8

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.8.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.8.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.9

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 8) (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (x - 4) + \log_{2} (x - 6) = 3$ verdadeira.

$x = 8$