Pré-cálculo Exemplos

$\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{2} (x - 6) + \log_{2} (2 x) = 5$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{2} ((x - 6) (2 x)) = 5$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{2} (x (2 x) - 6 (2 x)) = 5$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{2} (2 x \cdot x - 6 (2 x)) = 5$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$\log_{2} (2 x \cdot x - 12 x) = 5$

Etapa 5

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1

Mova $x$ .

$\log_{2} (2 (x \cdot x) - 12 x) = 5$

Etapa 5.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$

Etapa 6

Reescreva $\log_{2} (2 x^{2} - 12 x) = 5$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{5} = 2 x^{2} - 12 x$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$ .

$2 x^{2} - 12 x = 2^{5}$

Etapa 7.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$2 x^{2} - 12 x = 32$

Etapa 7.3

Subtraia $32$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 12 x - 32 = 0$

Etapa 7.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 7.4.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} - 12 x - 32$ .

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Etapa 7.4.1.1

Fatore $2$ de $2 x^{2}$ .

$2 (x^{2}) - 12 x - 32 = 0$

Etapa 7.4.1.2

Fatore $2$ de $- 12 x$ .

$2 (x^{2}) + 2 (- 6 x) - 32 = 0$

Etapa 7.4.1.3

Fatore $2$ de $- 32$ .

$2 x^{2} + 2 (- 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Etapa 7.4.1.4

Fatore $2$ de $2 x^{2} + 2 (- 6 x)$ .

$2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16 = 0$

Etapa 7.4.1.5

Fatore $2$ de $2 (x^{2} - 6 x) + 2 \cdot - 16$ .

$2 (x^{2} - 6 x - 16) = 0$

Etapa 7.4.2

Fatore.

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Etapa 7.4.2.1

Fatore $x^{2} - 6 x - 16$ usando o método AC.

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Etapa 7.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 16$ e cuja soma é $- 6$ .

$- 8, 2$

Etapa 7.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$2 ((x - 8) (x + 2)) = 0$

Etapa 7.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (x - 8) (x + 2) = 0$

Etapa 7.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 7.6

Defina $x - 8$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.6.1

Defina $x - 8$ como igual a $0$ .

$x - 8 = 0$

Etapa 7.6.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$x = 8$

Etapa 7.7

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.7.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 7.7.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 7.8

A solução final são todos os valores que tornam $2 (x - 8) (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 8, - 2$

Etapa 8

Exclua as soluções que não tornam $\log_{2} (x - 6) = 5 - \log_{2} (2 x)$ verdadeira.

$x = 8$