Pré-cálculo Exemplos

$\log_{21} (x - 3) + \log_{21} (x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{21} ((x - 3) (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 3) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{21} (x (x + 1) - 3 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{21} (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{21} (x \cdot x + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{21} (x^{2} + x \cdot 1 - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\log_{21} (x^{2} + x - 3 x - 3 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $1$ .

$\log_{21} (x^{2} + x - 3 x - 3) = 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $3 x$ de $x$ .

$\log_{21} (x^{2} - 2 x - 3) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log_{21} (x^{2} - 2 x - 3) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$21^{1} = x^{2} - 2 x - 3$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 2 x - 3 = 21^{1}$ .

$x^{2} - 2 x - 3 = 21$

Etapa 3.2

Subtraia $21$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x - 3 - 21 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $21$ de $- 3$ .

$x^{2} - 2 x - 24 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} - 2 x - 24$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 24$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 6, 4$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x + 4) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 3.7

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, - 4$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{21} (x - 3) + \log_{21} (x + 1) = 1$ verdadeira.

$x = 6$