Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (x + 3) = 1 - \log_{3} (x + 5)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\log_{3} (x + 3) + \log_{3} (x + 5) = 1$

Etapa 2

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x + 3) (x + 5)) = 1$

Etapa 3

Expanda $(x + 3) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x (x + 5) + 3 (x + 5)) = 1$

Etapa 3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 (x + 5)) = 1$

Etapa 3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 1$

Etapa 4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 5 + 3 x + 3 \cdot 5) = 1$

Etapa 4.1.2

Mova $5$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 5 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 5) = 1$

Etapa 4.1.3

Multiplique $3$ por $5$ .

$\log_{3} (x^{2} + 5 x + 3 x + 15) = 1$

Etapa 4.2

Some $5 x$ e $3 x$ .

$\log_{3} (x^{2} + 8 x + 15) = 1$

Etapa 5

Reescreva $\log_{3} (x^{2} + 8 x + 15) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{1} = x^{2} + 8 x + 15$

Etapa 6

Resolva $x$ .

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Etapa 6.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 8 x + 15 = 3^{1}$ .

$x^{2} + 8 x + 15 = 3$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 8 x + 15 - 3 = 0$

Etapa 6.3

Subtraia $3$ de $15$ .

$x^{2} + 8 x + 12 = 0$

Etapa 6.4

Fatore $x^{2} + 8 x + 12$ usando o método AC.

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Etapa 6.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $12$ e cuja soma é $8$ .

$2, 6$

Etapa 6.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x + 2) (x + 6) = 0$

Etapa 6.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

$x + 6 = 0$

Etapa 6.6

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.6.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 6.6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 6.7

Defina $x + 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.7.1

Defina $x + 6$ como igual a $0$ .

$x + 6 = 0$

Etapa 6.7.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$x = - 6$

Etapa 6.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x + 2) (x + 6) = 0$ verdadeiro.

$x = - 2, - 6$

Etapa 7

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (x + 3) = 1 - \log_{3} (x + 5)$ verdadeira.

$x = - 2$