Pré-cálculo Exemplos

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$

Etapa 1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.1

Simplifique $\log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ .

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Etapa 1.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x + 1))$

Etapa 1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x (2 x) + x \cdot 1)$

Etapa 1.1.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.3.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 1.1.3.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x \cdot x + x)$

Etapa 1.1.4

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.4.1

Mova $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 (x \cdot x) + x)$

Etapa 1.1.4.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{3} (5 x) = \log_{3} (2 x^{2} + x)$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$5 x = 2 x^{2} + x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x^{2} + x = 5 x$

Etapa 3.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.1

Subtraia $5 x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} + x - 5 x = 0$

Etapa 3.2.2

Subtraia $5 x$ de $x$ .

$2 x^{2} - 4 x = 0$

Etapa 3.3

Fatore $2 x$ de $2 x^{2} - 4 x$ .

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Etapa 3.3.1

Fatore $2 x$ de $2 x^{2}$ .

$2 x (x) - 4 x = 0$

Etapa 3.3.2

Fatore $2 x$ de $- 4 x$ .

$2 x (x) + 2 x (- 2) = 0$

Etapa 3.3.3

Fatore $2 x$ de $2 x (x) + 2 x (- 2)$ .

$2 x (x - 2) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 2 = 0$

Etapa 3.5

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (x - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 2$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{3} (5 x) = \log_{3} (x) + \log_{3} (2 x + 1)$ verdadeira.

$x = 2$