Pré-cálculo Exemplos

$\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$

Etapa 1

Reescreva $\log_{5} (x^{2} + 3 x + 4) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$5^{2} = x^{2} + 3 x + 4$

Etapa 2

Resolva $x$ .

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Etapa 2.1

Reescreva a equação como $x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 5^{2}$

Etapa 2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x^{2} + 3 x + 4 = 25$

Etapa 2.3

Mova todos os termos para o lado esquerdo da equação e simplifique.

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Etapa 2.3.1

Subtraia $25$ dos dois lados da equação.

$x^{2} + 3 x + 4 - 25 = 0$

Etapa 2.3.2

Subtraia $25$ de $4$ .

$x^{2} + 3 x - 21 = 0$

Etapa 2.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 2.5

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 3$ e $c = - 21$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 21)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6

Simplifique.

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Etapa 2.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.6.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 1 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 21$ .

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Etapa 2.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot - 21}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 21$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 + 84}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.1.3

Some $9$ e $84$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2 \cdot 1}$

Etapa 2.6.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 \pm \sqrt{93}}{2}$

Etapa 2.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Etapa 3

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{3 - \sqrt{93}}{2}, - \frac{3 + \sqrt{93}}{2}$

Forma decimal:

$x = 3.32182538 \dots, - 6.32182538 \dots$