Pré-cálculo Exemplos

$\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} ((x - 5) (x + 5)) = 2$

Etapa 1.2

Expanda $(x - 5) (x + 5)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x (x + 5) - 5 (x + 5)) = 2$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 (x + 5)) = 2$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine os termos opostos em $x \cdot x + x \cdot 5 - 5 x - 5 \cdot 5$ .

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Etapa 1.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $x \cdot 5$ e $- 5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 5 x - 5 x - 5 \cdot 5) = 2$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $5 x$ de $5 x$ .

$\log_{4} (x \cdot x + 0 - 5 \cdot 5) = 2$

Etapa 1.3.1.3

Some $x \cdot x$ e $0$ .

$\log_{4} (x \cdot x - 5 \cdot 5) = 2$

Etapa 1.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 5 \cdot 5) = 2$

Etapa 1.3.2.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$

Etapa 2

Reescreva $\log_{4} (x^{2} - 25) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{2} = x^{2} - 25$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - 25 = 4^{2}$ .

$x^{2} - 25 = 4^{2}$

Etapa 3.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$x^{2} - 25 = 16$

Etapa 3.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 3.3.1

Some $25$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 16 + 25$

Etapa 3.3.2

Some $16$ e $25$ .

$x^{2} = 41$

Etapa 3.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{41}$

Etapa 3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{41}$

Etapa 3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{41}$

Etapa 3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{41}, - \sqrt{41}$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{4} (x - 5) + \log_{4} (x + 5) = 2$ verdadeira.

$x = \sqrt{41}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \sqrt{41}$

Forma decimal:

$x = 6.40312423 \dots$