Pré-cálculo Exemplos

$\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{4} (x (x - 1)) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Simplifique multiplicando.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log_{4} (x \cdot x + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.2.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log_{4} (x^{2} + x \cdot - 1) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.2.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\log_{4} (x^{2} - 1 \cdot x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Reescreva $\log_{4} (x^{2} - x) = \frac{1}{2}$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$4^{\frac{1}{2}} = x^{2} - x$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$ .

$x^{2} - x = 4^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.2

Simplifique $4^{\frac{1}{2}}$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x^{2} - x = {(2^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 3.2.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 3.2.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{2} - x = 2^{2 (\frac{1}{2})}$

Etapa 3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} - x = 2^{1}$

Etapa 3.2.3

Avalie o expoente.

$x^{2} - x = 2$

Etapa 3.3

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - x - 2 = 0$

Etapa 3.4

Fatore $x^{2} - x - 2$ usando o método AC.

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Etapa 3.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 2$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 2, 1$

Etapa 3.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (x + 1) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 3.6

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.6.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 3.7

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2, - 1$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log_{4} (x) + \log_{4} (x - 1) = \frac{1}{2}$ verdadeira.

$x = 2$