Pré-cálculo Exemplos

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$

Etapa 1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$\ln (x - 1), 1$

Etapa 1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$\ln (x - 1)$

Etapa 2

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ por $\ln (x - 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 2.1

Multiplique cada termo em $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ por $\ln (x - 1)$ .

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (x - 1)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} \ln (x - 1) = 2 \ln (x - 1)$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\ln (x + 1) = 2 \ln (x - 1)$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Simplifique $2 \ln (x - 1)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x + 1) = \ln ({(x - 1)}^{2})$

Etapa 3

Resolva a equação.

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Etapa 3.1

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x + 1 = {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.2

Resolva $x$ .

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Etapa 3.2.1

Simplifique ${(x - 1)}^{2}$ .

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva.

$x + 1 = 0 + 0 + {(x - 1)}^{2}$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva ${(x - 1)}^{2}$ como $(x - 1) (x - 1)$ .

$x + 1 = (x - 1) (x - 1)$

Etapa 3.2.1.3

Expanda $(x - 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.2.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = x (x - 1) - 1 (x - 1)$

Etapa 3.2.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 (x - 1)$

Etapa 3.2.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x + 1 = x \cdot x + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.4

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 3.2.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.4.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x + 1 = x^{2} + x \cdot - 1 - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.4.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$x + 1 = x^{2} - 1 \cdot x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.4.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - 1 x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.4.1.4

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x - 1 \cdot - 1$

Etapa 3.2.1.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$x + 1 = x^{2} - x - x + 1$

Etapa 3.2.1.4.2

Subtraia $x$ de $- x$ .

$x + 1 = x^{2} - 2 x + 1$

Etapa 3.2.2

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 = x + 1$

Etapa 3.2.3

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.2.3.1

Subtraia $x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 - x = 1$

Etapa 3.2.3.2

Subtraia $x$ de $- 2 x$ .

$x^{2} - 3 x + 1 = 1$

Etapa 3.2.4

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 3 x + 1 - 1 = 0$

Etapa 3.2.5

Combine os termos opostos em $x^{2} - 3 x + 1 - 1$ .

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Etapa 3.2.5.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$x^{2} - 3 x + 0 = 0$

Etapa 3.2.5.2

Some $x^{2} - 3 x$ e $0$ .

$x^{2} - 3 x = 0$

Etapa 3.2.6

Fatore $x$ de $x^{2} - 3 x$ .

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Etapa 3.2.6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 3 x = 0$

Etapa 3.2.6.2

Fatore $x$ de $- 3 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 3 = 0$

Etapa 3.2.6.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 3$ .

$x (x - 3) = 0$

Etapa 3.2.7

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.8

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 3.2.9

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.2.9.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 3.2.9.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 3.2.10

A solução final são todos os valores que tornam $x (x - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 3$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\frac{\ln (x + 1)}{\ln (x - 1)} = 2$ verdadeira.

$x = 3$