Pré-cálculo Exemplos

$\log (4 x + 7) + \log (x + 1) = 1$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log ((4 x + 7) (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2

Expanda $(4 x + 7) (x + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (4 x (x + 1) + 7 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 7 (x + 1)) = 1$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\log (4 x \cdot x + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\log (4 (x \cdot x) + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x \cdot 1 + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $4$ por $1$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x + 7 x + 7 \cdot 1) = 1$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $7$ por $1$ .

$\log (4 x^{2} + 4 x + 7 x + 7) = 1$

Etapa 1.3.2

Some $4 x$ e $7 x$ .

$\log (4 x^{2} + 11 x + 7) = 1$

Etapa 2

Reescreva $\log (4 x^{2} + 11 x + 7) = 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{1} = 4 x^{2} + 11 x + 7$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva a equação como $4 x^{2} + 11 x + 7 = 10^{1}$ .

$4 x^{2} + 11 x + 7 = 10$

Etapa 3.2

Subtraia $10$ dos dois lados da equação.

$4 x^{2} + 11 x + 7 - 10 = 0$

Etapa 3.3

Subtraia $10$ de $7$ .

$4 x^{2} + 11 x - 3 = 0$

Etapa 3.4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 3.4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 3 = - 12$ e cuja soma é $b = 11$ .

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Etapa 3.4.1.1

Fatore $11$ de $11 x$ .

$4 x^{2} + 11 (x) - 3 = 0$

Etapa 3.4.1.2

Reescreva $11$ como $- 1$ mais $12$

$4 x^{2} + (- 1 + 12) x - 3 = 0$

Etapa 3.4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 x^{2} - 1 x + 12 x - 3 = 0$

Etapa 3.4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 3.4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 x^{2} - 1 x) + 12 x - 3 = 0$

Etapa 3.4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$x (4 x - 1) + 3 (4 x - 1) = 0$

Etapa 3.4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 x - 1$ .

$(4 x - 1) (x + 3) = 0$

Etapa 3.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

$x + 3 = 0$

Etapa 3.6

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $4 x - 1$ como igual a $0$ .

$4 x - 1 = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $4 x - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 x = 1$

Etapa 3.6.2.2

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 3.6.2.2.1

Divida cada termo em $4 x = 1$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 3.6.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 3.7

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.7.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 3.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 3.8

A solução final são todos os valores que tornam $(4 x - 1) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{4}, - 3$

Etapa 4

Exclua as soluções que não tornam $\log (4 x + 7) + \log (x + 1) = 1$ verdadeira.

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$x = 0.25$