Pré-cálculo Exemplos

$45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$

Etapa 1

Divida cada termo em $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ por $45$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $45 {(\frac{2}{5})}^{x} = 10$ por $45$ .

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $45$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{45 {(\frac{2}{5})}^{x}}{45} = \frac{10}{45}$

Etapa 1.2.1.2

Divida ${(\frac{2}{5})}^{x}$ por $1$ .

${(\frac{2}{5})}^{x} = \frac{10}{45}$

Etapa 1.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{2}{5}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{10}{45}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Cancele o fator comum de $10$ e $45$ .

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Etapa 1.3.1.1

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 (2)}{45}$

Etapa 1.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.3.1.2.1

Fatore $5$ de $45$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Etapa 1.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{5 \cdot 2}{5 \cdot 9}$

Etapa 1.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} = \frac{2}{9}$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $5^{x}$ .

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Cancele o fator comum de $5^{x}$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2^{x}}{5^{x}} \cdot 5^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Etapa 3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2^{x} = \frac{2}{9} \cdot 5^{x}$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Combine $\frac{2}{9}$ e $5^{x}$ .

$2^{x} = \frac{2 \cdot 5^{x}}{9}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln (2^{x}) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Etapa 4.2

Expanda $\ln (2^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$

Etapa 4.3

Reescreva $\ln (\frac{2 \cdot 5^{x}}{9})$ como $\ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (9)$

Etapa 4.4

Reescreva $\ln (9)$ como $\ln (3^{2})$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - \ln (3^{2})$

Etapa 4.5

Expanda $\ln (3^{2})$ movendo $2$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - (2 \ln (3))$

Etapa 4.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x \ln (2) = \ln (2 \cdot 5^{x}) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.7

Reescreva $\ln (2 \cdot 5^{x})$ como $\ln (2) + \ln (5^{x})$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + \ln (5^{x}) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.8

Expanda $\ln (5^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$

Etapa 4.9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 4.9.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.9.1.1

Simplifique $\ln (2) + x \ln (5) - 2 \ln (3)$ .

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Etapa 4.9.1.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.9.1.1.1.1

Simplifique $- 2 \ln (3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (3^{2})$

Etapa 4.9.1.1.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$x \ln (2) = \ln (2) + x \ln (5) - \ln (9)$

Etapa 4.9.1.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2) = x \ln (5) + \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (2) - x \ln (5) - \ln (\frac{2}{9}) = 0$

Etapa 4.9.3

Some $\ln (\frac{2}{9})$ aos dois lados da equação.

$x \ln (2) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.4

Fatore $x$ de $x \ln (2) - x \ln (5)$ .

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Etapa 4.9.4.1

Fatore $x$ de $x \ln (2)$ .

$x (\ln (2)) - x \ln (5) = \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.4.2

Fatore $x$ de $- x \ln (5)$ .

$x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.4.3

Fatore $x$ de $x (\ln (2)) + x (- 1 \ln (5))$ .

$x (\ln (2) - 1 \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.5

Reescreva $- 1 \ln (5)$ como $- \ln (5)$ .

$x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$

Etapa 4.9.6

Divida cada termo em $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ por $\ln (2) - \ln (5)$ e simplifique.

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Etapa 4.9.6.1

Divida cada termo em $x (\ln (2) - \ln (5)) = \ln (\frac{2}{9})$ por $\ln (2) - \ln (5)$ .

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Etapa 4.9.6.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.9.6.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2) - \ln (5)$ .

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Etapa 4.9.6.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (2) - \ln (5))}{\ln (2) - \ln (5)} = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Etapa 4.9.6.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (\frac{2}{9})}{\ln (2) - \ln (5)}$

Forma decimal:

$x = 1.64148489 \dots$