Pré-cálculo Exemplos

$27 x^{3} = {(x + 5)}^{3}$

Etapa 1

Subtraia ${(x + 5)}^{3}$ dos dois lados da equação.

$27 x^{3} - {(x + 5)}^{3} = 0$

Etapa 2

Simplifique $27 x^{3} - {(x + 5)}^{3}$ .

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Etapa 2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1

Use o teorema binomial.

$27 x^{3} - (x^{3} + 3 x^{2} \cdot 5 + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Etapa 2.1.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.2.1

Multiplique $5$ por $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 5^{2} + 5^{3}) = 0$

Etapa 2.1.2.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 3 x \cdot 25 + 5^{3}) = 0$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $25$ por $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 5^{3}) = 0$

Etapa 2.1.2.4

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$27 x^{3} - (x^{3} + 15 x^{2} + 75 x + 125) = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$27 x^{3} - x^{3} - (15 x^{2}) - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Etapa 2.1.4

Simplifique.

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Etapa 2.1.4.1

Multiplique $15$ por $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - (75 x) - 1 \cdot 125 = 0$

Etapa 2.1.4.2

Multiplique $75$ por $- 1$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 1 \cdot 125 = 0$

Etapa 2.1.4.3

Multiplique $- 1$ por $125$ .

$27 x^{3} - x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Etapa 2.2

Subtraia $x^{3}$ de $27 x^{3}$ .

$26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125 = 0$

Etapa 3

Fatore $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 3.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

$q = \pm 1, \pm 26, \pm 2, \pm 13$

Etapa 3.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.0\overline{384615}, \pm 0.5, \pm 0.\overline{076923}, \pm 125, \pm 4.8\overline{076923}, \pm 62.5, \pm 9.\overline{615384}, \pm 5, \pm 0.1\overline{923076}, \pm 2.5, \pm 0.\overline{384615}, \pm 25, \pm 0.9\overline{615384}, \pm 12.5, \pm 1.\overline{923076}$

Etapa 3.3

Substitua $2.5$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2.5$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 3.3.1

Substitua $2.5$ no polinômio.

$26 \cdot {2.5}^{3} - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.2

Eleve $2.5$ à potência de $3$ .

$26 \cdot 15.625 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.3

Multiplique $26$ por $15.625$ .

$406.25 - 15 \cdot {2.5}^{2} - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.4

Eleve $2.5$ à potência de $2$ .

$406.25 - 15 \cdot 6.25 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.5

Multiplique $- 15$ por $6.25$ .

$406.25 - 93.75 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.6

Subtraia $93.75$ de $406.25$ .

$312.5 - 75 \cdot 2.5 - 125$

Etapa 3.3.7

Multiplique $- 75$ por $2.5$ .

$312.5 - 187.5 - 125$

Etapa 3.3.8

Subtraia $187.5$ de $312.5$ .

$125 - 125$

Etapa 3.3.9

Subtraia $125$ de $125$ .

$0$

Etapa 3.4

Como $2.5$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $2 x - 5$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125}{2 x - 5}$

Etapa 3.5

Divida $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ por $2 x - 5$ .

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Etapa 3.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$2 x$

$5$

$26 x^{3}$

$15 x^{2}$

$75 x$

$125$

Etapa 3.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $26 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

					$13 x^{2}$
	$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$

Etapa 3.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			+	$26 x^{3}$	-	$65 x^{2}$

Etapa 3.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $26 x^{3} - 65 x^{2}$ .

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$

Etapa 3.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$

Etapa 3.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$13 x^{2}$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Etapa 3.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $50 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$

Etapa 3.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					+	$50 x^{2}$	-	$125 x$

Etapa 3.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $50 x^{2} - 125 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$

Etapa 3.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$

Etapa 3.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Etapa 3.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $50 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $2 x$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$

Etapa 3.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							+	$50 x$	-	$125$

Etapa 3.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $50 x - 125$ .

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$

Etapa 3.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$13 x^{2}$	+	$25 x$	+	$25$
$2 x$	-	$5$		$26 x^{3}$	-	$15 x^{2}$	-	$75 x$	-	$125$
			-	$26 x^{3}$	+	$65 x^{2}$
					+	$50 x^{2}$	-	$75 x$
					-	$50 x^{2}$	+	$125 x$
							+	$50 x$	-	$125$
							-	$50 x$	+	$125$
										$0$

Etapa 3.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$13 x^{2} + 25 x + 25$

Etapa 3.6

Escreva $26 x^{3} - 15 x^{2} - 75 x - 125$ como um conjunto de fatores.

$(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Etapa 5

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $2 x - 5$ como igual a $0$ .

$2 x - 5 = 0$

Etapa 5.2

Resolva $2 x - 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Some $5$ aos dois lados da equação.

$2 x = 5$

Etapa 5.2.2

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.2.2.1

Divida cada termo em $2 x = 5$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{5}{2}$

Etapa 5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{5}{2}$

Etapa 6

Defina $13 x^{2} + 25 x + 25$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $13 x^{2} + 25 x + 25$ como igual a $0$ .

$13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $13 x^{2} + 25 x + 25 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6.2.2

Substitua os valores $a = 13$ , $b = 25$ e $c = 25$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 25 \pm \sqrt{25^{2} - 4 \cdot (13 \cdot 25)}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3

Simplifique.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.3.1.1

Eleve $25$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 4 \cdot 13 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 13 \cdot 25$ .

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Etapa 6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 52 \cdot 25}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 52$ por $25$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{625 - 1300}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.3

Subtraia $1300$ de $625$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 675}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.4

Reescreva $- 675$ como $- 1 (675)$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1 \cdot 675}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (675)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}$ .

$x = \frac{- 25 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{675}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.7

Reescreva $675$ como $15^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 6.2.3.1.7.1

Fatore $225$ de $675$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{225 (3)}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.7.2

Reescreva $225$ como $15^{2}$ .

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot \sqrt{15^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 25 \pm i \cdot (15 \sqrt{3})}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.1.9

Mova $15$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{2 \cdot 13}$

Etapa 6.2.3.2

Multiplique $2$ por $13$ .

$x = \frac{- 25 \pm 15 i \sqrt{3}}{26}$

Etapa 6.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $(2 x - 5) (13 x^{2} + 25 x + 25) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{5}{2}, - \frac{25 - 15 i \sqrt{3}}{26}, - \frac{25 + 15 i \sqrt{3}}{26}$