Pré-cálculo Exemplos

$2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$

Etapa 1

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $2 \sin (\frac{π}{4} x) = 1$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (\frac{π}{4} x)}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.2.1.2

Divida $\sin (\frac{π}{4} x)$ por $1$ .

$\sin (\frac{π}{4} x) = \frac{1}{2}$

Etapa 2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$\frac{π}{4} x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Combine $\frac{π}{4}$ e $x$ .

$\frac{π x}{4} = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{π}{6}$

Etapa 5

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 6.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Etapa 6.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 6.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π}{6}$ .

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Etapa 6.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.1.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π}{6}$

Etapa 6.2.1.1.2

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.1.1.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π}{2 \cdot 3}$

Etapa 6.2.1.1.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 6.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π}{3}$

Etapa 6.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (\frac{1}{3})$

Etapa 6.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{2}{3}$

Etapa 7

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$\frac{π x}{4} = π - \frac{π}{6}$

Etapa 8

Resolva $x$ .

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Etapa 8.1

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 8.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1.1

Simplifique $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Etapa 8.2.1.1.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 8.2.1.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.1.1.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.1.1.2.1

Fatore $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x = \frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.2.1

Simplifique $\frac{4}{π} (π - \frac{π}{6})$ .

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Etapa 8.2.2.1.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.2.1.2

Simplifique os termos.

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Etapa 8.2.2.1.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{4}{π} (\frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6})$

Etapa 8.2.2.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.2.2.1.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.2.2.1.2.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = \frac{2 (2)}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 8.2.2.1.2.3.2

Fatore $2$ de $6$ .

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.2.3.3

Cancele o fator comum.

$x = \frac{2 \cdot 2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{2 \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.2.3.4

Reescreva a expressão.

$x = \frac{2}{π} \cdot \frac{π \cdot 6 - π}{3}$

Etapa 8.2.2.1.2.4

Multiplique $\frac{2}{π}$ por $\frac{π \cdot 6 - π}{3}$ .

$x = \frac{2 (π \cdot 6 - π)}{π \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.2.2.1.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{2 (6 \cdot π - π)}{π \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{2 \cdot 5 π}{π \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.3.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.4

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 8.2.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \frac{10 π}{π \cdot 3}$

Etapa 8.2.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \frac{10}{3}$

Etapa 9

Encontre o período de $\sin (\frac{π}{4} x)$ .

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Etapa 9.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.2

Substitua $b$ por $\frac{π}{4}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{π}{4} |}$

Etapa 9.3

$\frac{π}{4}$ é aproximadamente $0.78539816$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Etapa 9.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Etapa 9.5

Cancele o fator comum de $π$ .

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Etapa 9.5.1

Fatore $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 9.5.2

Cancele o fator comum.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Etapa 9.5.3

Reescreva a expressão.

$2 \cdot 4$

Etapa 9.6

Multiplique $2$ por $4$ .

$8$

Etapa 10

O período da função $\sin (\frac{π}{4} x)$ é $8$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $8$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2}{3} + 8 n, \frac{10}{3} + 8 n$ , para qualquer número inteiro $n$