Pré-cálculo Exemplos

$2 \sin (x) - 1 = \frac{3}{\sin (x)}$

Etapa 1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, \sin (x), 1$

Etapa 2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$\sin (x)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ por $\sin (x)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $2 \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} + 1$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.2.1.1

Mova $\sin (x)$ .

$2 (\sin (x) \sin (x)) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 3.2.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.1.1

Cancele o fator comum de $\sin (x)$ .

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Etapa 3.3.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \sin^{2} (x) = \frac{3}{\sin (x)} \sin (x) + 1 \sin (x)$

Etapa 3.3.1.1.2

Reescreva a expressão.

$2 \sin^{2} (x) = 3 + 1 \sin (x)$

Etapa 3.3.1.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 \sin^{2} (x) = 3 + \sin (x)$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $\sin (x)$ dos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) = 3$

Etapa 4.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.3.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 3 = - 6$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 4.3.1.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$2 \sin^{2} (x) - \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.2

Reescreva $- 1$ como $2$ mais $- 3$

$2 \sin^{2} (x) + (2 - 3) \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.3.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) - 3 \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.3.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 \sin (x) (\sin (x) + 1) - 3 (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 4.3.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $\sin (x) + 1$ .

$(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.5

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $\sin (x)$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 4.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 4.6

Defina $2 \sin (x) - 3$ como igual a $0$ e resolva para $\sin (x)$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $2 \sin (x) - 3$ como igual a $0$ .

$2 \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.6.2

Resolva $2 \sin (x) - 3 = 0$ para $\sin (x)$ .

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Etapa 4.6.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$2 \sin (x) = 3$

Etapa 4.6.2.2

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 3$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 4.6.2.2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x) = 3$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 4.6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{3}{2}$

Etapa 4.6.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(\sin (x) + 1) (2 \sin (x) - 3) = 0$ verdadeiro.

$\sin (x) = - 1, \frac{3}{2}$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = \frac{3}{2}$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\sin (x) = - 1$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 6.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.4.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 6.6.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{2}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

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Etapa 6.6.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.6.4.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{3}{2}$ .

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Etapa 7.1

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{3}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 9

Consolide as respostas.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$