Pré-cálculo Exemplos

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) = 3 \ln (2)$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \ln (x + 3) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Simplifique $2 \ln (x + 3)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - 3 \ln (2) = 0$

Etapa 2.1.1.2

Simplifique $- 3 \ln (2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (2^{3}) = 0$

Etapa 2.1.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\ln ({(x + 3)}^{2}) - \ln (x + 1) - \ln (8) = 0$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}) - \ln (8) = 0$

Etapa 2.1.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}}{8}) = 0$

Etapa 2.1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1} \cdot \frac{1}{8}) = 0$

Etapa 2.1.5

Multiplique $\frac{{(x + 3)}^{2}}{x + 1}$ por $\frac{1}{8}$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{(x + 1) \cdot 8}) = 0$

Etapa 2.1.6

Mova $8$ para a esquerda de $x + 1$ .

$\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}) = 0$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{0} = \frac{{(x + 3)}^{2}}{8 (x + 1)}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

${(x + 3)}^{2} = e^{0} (8 (x + 1))$

Etapa 5

Simplifique $e^{0} (8 (x + 1))$ .

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Etapa 5.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 1 (8 (x + 1))$

Etapa 5.1.2

Multiplique $8 (x + 1)$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 (x + 1)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8 \cdot 1$

Etapa 5.3

Multiplique $8$ por $1$ .

${(x + 3)}^{2} = 8 x + 8$

Etapa 6

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 6.1

Subtraia $8 x$ dos dois lados da equação.

${(x + 3)}^{2} - 8 x = 8$

Etapa 6.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1

Reescreva ${(x + 3)}^{2}$ como $(x + 3) (x + 3)$ .

$(x + 3) (x + 3) - 8 x = 8$

Etapa 6.2.2

Expanda $(x + 3) (x + 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 6.2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (x + 3) + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Etapa 6.2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 (x + 3) - 8 x = 8$

Etapa 6.2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Etapa 6.2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 6.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot 3 + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Etapa 6.2.3.1.2

Mova $3$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} + 3 \cdot x + 3 x + 3 \cdot 3 - 8 x = 8$

Etapa 6.2.3.1.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$x^{2} + 3 x + 3 x + 9 - 8 x = 8$

Etapa 6.2.3.2

Some $3 x$ e $3 x$ .

$x^{2} + 6 x + 9 - 8 x = 8$

Etapa 6.3

Subtraia $8 x$ de $6 x$ .

$x^{2} - 2 x + 9 = 8$

Etapa 7

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.1

Subtraia $9$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x = 8 - 9$

Etapa 7.2

Subtraia $9$ de $8$ .

$x^{2} - 2 x = - 1$

Etapa 8

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x^{2} - 2 x + 1 = 0$

Etapa 9

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 9.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$x^{2} - 2 x + 1^{2} = 0$

Etapa 9.2

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 x = 2 \cdot x \cdot 1$

Etapa 9.3

Reescreva o polinômio.

$x^{2} - 2 \cdot x \cdot 1 + 1^{2} = 0$

Etapa 9.4

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = x$ e $b = 1$ .

${(x - 1)}^{2} = 0$

Etapa 10

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 11

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$