Pré-cálculo Exemplos

$2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \ln (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $\ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ .

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Etapa 2.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do produto, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x^{2}) = \ln ((2 x - 3) (x - 2))$

Etapa 2.1.2

Expanda $(2 x - 3) (x - 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x (x - 2) - 3 (x - 2))$

Etapa 2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 (x - 2))$

Etapa 2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x \cdot x + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.1.3.1.1.1

Mova $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 (x \cdot x) + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.3.1.1.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} + 2 x \cdot - 2 - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.3.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x - 3 \cdot - 2)$

Etapa 2.1.3.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 2$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 4 x - 3 x + 6)$

Etapa 2.1.3.2

Subtraia $3 x$ de $- 4 x$ .

$\ln (x^{2}) = \ln (2 x^{2} - 7 x + 6)$

Etapa 3

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{2} = 2 x^{2} - 7 x + 6$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x^{2} - 7 x + 6 = x^{2}$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} - 7 x + 6 - x^{2} = 0$

Etapa 4.2.2

Subtraia $x^{2}$ de $2 x^{2}$ .

$x^{2} - 7 x + 6 = 0$

Etapa 4.3

Fatore $x^{2} - 7 x + 6$ usando o método AC.

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Etapa 4.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $6$ e cuja soma é $- 7$ .

$- 6, - 1$

Etapa 4.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 6) (x - 1) = 0$

Etapa 4.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 4.5

Defina $x - 6$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.5.1

Defina $x - 6$ como igual a $0$ .

$x - 6 = 0$

Etapa 4.5.2

Some $6$ aos dois lados da equação.

$x = 6$

Etapa 4.6

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 4.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 6) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 6, 1$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $2 \ln (x) = \ln (2 x - 3) + \ln (x - 2)$ verdadeira.

$x = 6$