Pré-cálculo Exemplos

3 = \log_{x} (512)

$3 = \log_{x} (512)$

Etapa 1

Reescreva a equação como

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ .

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$

Etapa 2

Reescreva

\log_{x} (512) = 3

$\log_{x} (512) = 3$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se

x

$x$ e

b

$b$ forem números reais positivos e

b \neq 1

$b \neq 1$ , então,

\log_{b} (x) = y

$\log_{b} (x) = y$ será equivalente a

b^{y} = x

$b^{y} = x$ .

x^{3} = 512

$x^{3} = 512$

Etapa 3

Resolva

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Subtraia

512

$512$ dos dois lados da equação.

x^{3} - 512 = 0

$x^{3} - 512 = 0$

Etapa 3.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Reescreva

512

$512$ como

8^{3}

$8^{3}$ .

x^{3} - 8^{3} = 0

$x^{3} - 8^{3} = 0$

Etapa 3.2.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos,

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que

a = x

$a = x$ e

b = 8

$b = 8$ .

(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + x \cdot 8 + 8^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.3.1

Mova

8

$8$ para a esquerda de

x

$x$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 8^{2}) = 0$

Etapa 3.2.3.2

Eleve

8

$8$ à potência de

2

$2$ .

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$

Etapa 3.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a

0

$0$ , toda a expressão será igual a

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Etapa 3.4

Defina

x - 8

$x - 8$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.4.1

Defina

x - 8

$x - 8$ como igual a

0

$0$ .

x - 8 = 0

$x - 8 = 0$

Etapa 3.4.2

Some

8

$8$ aos dois lados da equação.

x = 8

$x = 8$

x = 8

$x = 8$

Etapa 3.5

Defina

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ como igual a

0

$0$ e resolva para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.1

Defina

x^{2} + 8 x + 64

$x^{2} + 8 x + 64$ como igual a

0

$0$ .

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$

Etapa 3.5.2

Resolva

x^{2} + 8 x + 64 = 0

$x^{2} + 8 x + 64 = 0$ para

x

$x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.5.2.2

Substitua os valores

a = 1

$a = 1$ ,

b = 8

$b = 8$ e

c = 64

$c = 64$ na fórmula quadrática e resolva

x

$x$ .

\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 64)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.1

Eleve

8

$8$ à potência de

2

$2$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2

Multiplique

- 4 \cdot 1 \cdot 64

$- 4 \cdot 1 \cdot 64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.2.1

Multiplique

- 4

$- 4$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 64}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.2.2

Multiplique

- 4

$- 4$ por

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 256}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.3

Subtraia

256

$256$ de

64

$64$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 192}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.4

Reescreva

- 192

$- 192$ como

- 1 (192)

$- 1 (192)$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1 \cdot 192}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.5

Reescreva

\sqrt{- 1 (192)}

$\sqrt{- 1 (192)}$ como

\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}

$\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}$ .

x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.6

Reescreva

\sqrt{- 1}

$\sqrt{- 1}$ como

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{192}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.7

Reescreva

192

$192$ como

8^{2} \cdot 3

$8^{2} \cdot 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.5.2.3.1.7.1

Fatore

64

$64$ de

192

$192$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{64 (3)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.7.2

Reescreva

64

$64$ como

8^{2}

$8^{2}$ .

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot \sqrt{8^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm i \cdot (8 \sqrt{3})}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.1.9

Mova

8

$8$ para a esquerda de

i

$i$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.5.2.3.2

Multiplique

2

$2$ por

1

$1$ .

x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$x = \frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 3.5.2.3.3

Simplifique

\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}

$\frac{- 8 \pm 8 i \sqrt{3}}{2}$ .

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 \pm 4 i \sqrt{3}$

Etapa 3.5.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

Etapa 3.6

A solução final são todos os valores que tornam

(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0

$(x - 8) (x^{2} + 8 x + 64) = 0$ verdadeiro.

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$

x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}

$x = 8, - 4 + 4 i \sqrt{3}, - 4 - 4 i \sqrt{3}$