Pré-cálculo Exemplos

$3 \log_{5} (x) = - \log_{5} (125)$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Simplifique $3 \log_{5} (x)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} (x^{3}) = - \log_{5} (125)$

Etapa 1.2

Simplifique $- \log_{5} (125)$ movendo $- 1$ para dentro do logaritmo.

$\log_{5} (x^{3}) = \log_{5} (125^{- 1})$

Etapa 2

Para que a equação seja igual, o argumento dos logaritmos deve ser igual nos dois lados da equação.

$x^{3} = 125^{- 1}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Subtraia $125^{- 1}$ dos dois lados da equação.

$x^{3} - 125^{- 1} = 0$

Etapa 3.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x^{3} - \frac{1}{125} = 0$

Etapa 3.3

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.3.1

Reescreva $\frac{1}{125}$ como ${(\frac{1}{5})}^{3}$ .

$x^{3} - {(\frac{1}{5})}^{3} = 0$

Etapa 3.3.2

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = x$ e $b = \frac{1}{5}$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + x (\frac{1}{5}) + {(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3

Simplifique.

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Etapa 3.3.3.1

Combine $x$ e $\frac{1}{5}$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + {(\frac{1}{5})}^{2}) = 0$

Etapa 3.3.3.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{5}$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1^{2}}{5^{2}}) = 0$

Etapa 3.3.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{5^{2}}) = 0$

Etapa 3.3.3.4

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - \frac{1}{5} = 0$

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$

Etapa 3.5

Defina $x - \frac{1}{5}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.5.1

Defina $x - \frac{1}{5}$ como igual a $0$ .

$x - \frac{1}{5} = 0$

Etapa 3.5.2

Some $\frac{1}{5}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{1}{5}$

Etapa 3.6

Defina $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 3.6.1

Defina $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}$ como igual a $0$ .

$x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$

Etapa 3.6.2

Resolva $x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25} = 0$ para $x$ .

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Etapa 3.6.2.1

Multiplique pelo mínimo múltiplo comum $25$ . Depois, simplifique.

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Etapa 3.6.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$25 x^{2} + 25 (\frac{x}{5}) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.1.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

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Etapa 3.6.2.1.2.1.1

Fatore $5$ de $25$ .

$25 x^{2} + 5 (5) (\frac{x}{5}) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.1.2

Cancele o fator comum.

$25 x^{2} + 5 \cdot (5 (\frac{x}{5})) + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.1.3

Reescreva a expressão.

$25 x^{2} + 5 x + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.2

Cancele o fator comum de $25$ .

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Etapa 3.6.2.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$25 x^{2} + 5 x + 25 (\frac{1}{25}) = 0$

Etapa 3.6.2.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$25 x^{2} + 5 x + 1 = 0$

Etapa 3.6.2.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.6.2.3

Substitua os valores $a = 25$ , $b = 5$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 5 \pm \sqrt{5^{2} - 4 \cdot (25 \cdot 1)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4

Simplifique.

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Etapa 3.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.6.2.4.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 4 \cdot 25 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 25 \cdot 1$ .

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Etapa 3.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100 \cdot 1}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 100$ por $1$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{25 - 100}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.3

Subtraia $100$ de $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.4

Reescreva $- 75$ como $- 1 (75)$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1 \cdot 75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (75)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}$ .

$x = \frac{- 5 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{75}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.7

Reescreva $75$ como $5^{2} \cdot 3$ .

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Etapa 3.6.2.4.1.7.1

Fatore $25$ de $75$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{25 (3)}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.7.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot \sqrt{5^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.8

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{- 5 \pm i \cdot (5 \sqrt{3})}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.1.9

Mova $5$ para a esquerda de $i$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{2 \cdot 25}$

Etapa 3.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$x = \frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$

Etapa 3.6.2.4.3

Simplifique $\frac{- 5 \pm 5 i \sqrt{3}}{50}$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{10}$

Etapa 3.6.2.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$

Etapa 3.7

A solução final são todos os valores que tornam $(x - \frac{1}{5}) (x^{2} + \frac{x}{5} + \frac{1}{25}) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{5}, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{10}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{10}$