Pré-cálculo Exemplos

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) + \sqrt{3} = 0$

Etapa 1

Subtraia $\sqrt{3}$ dos dois lados da equação.

$2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$

Etapa 2

Divida cada termo em $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 2.1

Divida cada termo em $2 \sin (x - \frac{π}{4}) = - \sqrt{3}$ por $2$ .

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sin (x - \frac{π}{4})}{2} = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.2.1.2

Divida $\sin (x - \frac{π}{4})$ por $1$ .

$\sin (x - \frac{π}{4}) = \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x - \frac{π}{4}) = - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x - \frac{π}{4} = \arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arcsin (- \frac{\sqrt{3}}{2})$ é $- \frac{π}{3}$ .

$x - \frac{π}{4} = - \frac{π}{3}$

Etapa 5

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = - \frac{π}{3} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.2

Para escrever $- \frac{π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

Para escrever $\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.4.1

Multiplique $\frac{π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 5.4.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 5.4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = - \frac{π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{- π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.6.1

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4 π + π \cdot 3}{12}$

Etapa 5.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{- 4 π + 3 \cdot π}{12}$

Etapa 5.6.3

Some $- 4 π$ e $3 π$ .

$x = \frac{- π}{12}$

Etapa 5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{π}{12}$

Etapa 6

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π$

Etapa 7

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = 2 π + \frac{π}{3} + π - 2 π$

Etapa 7.2

O ângulo resultante de $\frac{4 π}{3}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{3} + π$ .

$x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

Etapa 7.3

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 7.3.1

Some $\frac{π}{4}$ aos dois lados da equação.

$x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.3.2

Para escrever $\frac{4 π}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 7.3.3

Para escrever $\frac{π}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.3.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $12$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 7.3.4.1

Multiplique $\frac{4 π}{3}$ por $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.3.4.2

Multiplique $3$ por $4$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 7.3.4.3

Multiplique $\frac{π}{4}$ por $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Etapa 7.3.4.4

Multiplique $4$ por $3$ .

$x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Etapa 7.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Etapa 7.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.3.6.1

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

Etapa 7.3.6.2

Mova $3$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

Etapa 7.3.6.3

Some $16 π$ e $3 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Etapa 8

Encontre o período de $\sin (x - \frac{π}{4})$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 8.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 8.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 9.1

Some $2 π$ com $- \frac{π}{12}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{12} + 2 π$

Etapa 9.2

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{12}{12}$ .

$2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 9.3

Combine frações.

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Etapa 9.3.1

Combine $2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$\frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{π}{12}$

Etapa 9.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 12 - π}{12}$

Etapa 9.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 9.4.1

Multiplique $12$ por $2$ .

$\frac{24 π - π}{12}$

Etapa 9.4.2

Subtraia $π$ de $24 π$ .

$\frac{23 π}{12}$

Etapa 9.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{23 π}{12}$

Etapa 10

O período da função $\sin (x - \frac{π}{4})$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{23 π}{12} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$