Pré-cálculo Exemplos

$2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $2 \log_{4} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{4} (x^{2}) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$

Etapa 2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.1

Simplifique $3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

A base do logaritmo $4$ de $2$ é $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + \log_{4} (8)$

Etapa 2.1.1.2

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \log_{4} (8)$

Etapa 2.1.1.3

A base do logaritmo $4$ de $8$ é $\frac{3}{2}$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3}{2} + \frac{3}{2}$

Etapa 2.1.2

Combine frações.

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Etapa 2.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{3 + 3}{2}$

Etapa 2.1.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.1.2.2.1

Some $3$ e $3$ .

$\log_{4} (x^{2}) = \frac{6}{2}$

Etapa 2.1.2.2.2

Divida $6$ por $2$ .

$\log_{4} (x^{2}) = 3$

Etapa 3

Escreva na forma exponencial.

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Etapa 3.1

Para equações logarítmicas, $\log_{b} (x) = y$ é equivalente a $b^{y} = x$ , de forma que $x > 0$ , $b > 0$ e $b \neq 1$ . Neste caso, $b = 4$ , $x = x^{2}$ e $y = 3$ .

$b = 4$

$x = x^{2}$

$y = 3$

Etapa 3.2

Substitua os valores de $b$ , $x$ e $y$ na equação $b^{y} = x$ .

$4^{3} = x^{2}$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Reescreva a equação como $x^{2} = 4^{3}$ .

$x^{2} = 4^{3}$

Etapa 4.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4^{3}}$

Etapa 4.3

Simplifique $\pm \sqrt{4^{3}}$ .

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Etapa 4.3.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$x = \pm \sqrt{64}$

Etapa 4.3.2

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{8^{2}}$

Etapa 4.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 8$

Etapa 4.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 8$

Etapa 4.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 8$

Etapa 4.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 8, - 8$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $2 \log_{4} (x) = 3 \log_{4} (2) + \log_{4} (8)$ verdadeira.

$x = 8$