Pré-cálculo Exemplos

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Etapa 2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Simplifique $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5)$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique $2 \log_{2} (x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{2} (x^{2}) - \log_{2} (x + 5) = 4$

Etapa 2.1.2

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$

Etapa 3

Reescreva $\log_{2} (\frac{x^{2}}{x + 5}) = 4$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b$ $\neq$ $1$ , então $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$2^{4} = \frac{x^{2}}{x + 5}$

Etapa 4

Multiplique usando a regra de três para remover a fração.

$x^{2} = 2^{4} (x + 5)$

Etapa 5

Simplifique $2^{4} (x + 5)$ .

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Etapa 5.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$x^{2} = 16 (x + 5)$

Etapa 5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$x^{2} = 16 x + 16 \cdot 5$

Etapa 5.3

Multiplique $16$ por $5$ .

$x^{2} = 16 x + 80$

Etapa 6

Subtraia $16 x$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 16 x = 80$

Etapa 7

Fatore $x$ de $x^{2} - 16 x$ .

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Etapa 7.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$x \cdot x - 16 x = 80$

Etapa 7.2

Fatore $x$ de $- 16 x$ .

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Etapa 7.3

Fatore $x$ de $x \cdot x + x \cdot - 16$ .

$x (x - 16) = 80$

Etapa 8

Simplifique $x (x - 16)$ .

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Etapa 8.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \cdot x + x \cdot - 16 = 80$

Etapa 8.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 8.2.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$x^{2} + x \cdot - 16 = 80$

Etapa 8.2.2

Mova $- 16$ para a esquerda de $x$ .

$x^{2} - 16 x = 80$

Etapa 9

Subtraia $80$ dos dois lados da equação.

$x^{2} - 16 x - 80 = 0$

Etapa 10

Fatore $x^{2} - 16 x - 80$ usando o método AC.

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Etapa 10.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 80$ e cuja soma é $- 16$ .

$- 20, 4$

Etapa 10.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 20) (x + 4) = 0$

Etapa 11

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 12

Defina $x - 20$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 12.1

Defina $x - 20$ como igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

Etapa 12.2

Some $20$ aos dois lados da equação.

$x = 20$

Etapa 13

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 13.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 13.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 14

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 20) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 20, - 4$

Etapa 15

Exclua as soluções que não tornam $2 \log_{2} (x) - \log_{2} (x + 5) = 4$ verdadeira.

$x = 20$