Pré-cálculo Exemplos

$2 \cos^{2} (x) = 1 - \cos (x)$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$2 {(u)}^{2} = 1 - (u)$

Etapa 2

Some $u$ aos dois lados da equação.

$2 u^{2} + u = 1$

Etapa 3

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Etapa 4

Fatore por agrupamento.

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Etapa 4.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

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Etapa 4.1.1

Multiplique por $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Etapa 4.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Etapa 4.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 4.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 4.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Etapa 4.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Etapa 4.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 6

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 6.1

Defina $2 u - 1$ como igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $2 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 6.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 u = 1$

Etapa 6.2.2

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 6.2.2.1

Divida cada termo em $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 6.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 6.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Etapa 7

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 7.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 7.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 9

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Etapa 10

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - 1$

Etapa 11

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 11.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 11.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 11.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 11.4.2

Combine frações.

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Etapa 11.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 11.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 11.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 11.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 11.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 11.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 11.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 12

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 1$ .

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Etapa 12.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 1)$

Etapa 12.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 12.2.1

O valor exato de $\arccos (- 1)$ é $π$ .

$x = π$

Etapa 12.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - π$

Etapa 12.4

Subtraia $π$ de $2 π$ .

$x = π$

Etapa 12.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 12.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 12.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 12.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 12.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 12.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 13

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 14

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{3} + \frac{2 π n}{3}$ , para qualquer número inteiro $n$