Pré-cálculo Exemplos

$2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

A base do logaritmo $8$ de $16$ é $\frac{4}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) + \frac{4}{3} = 2$

Etapa 1.2

Para escrever $2 \log_{8} (x - 2)$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 \log_{8} (x - 2) \cdot \frac{3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Etapa 1.3

Simplifique os termos.

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Etapa 1.3.1

Combine $2 \log_{8} (x - 2)$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3}{3} + \frac{4}{3} = 2$

Etapa 1.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4}{3} = 2$

Etapa 1.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.4.1

Fatore $2$ de $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 4$ .

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Etapa 1.4.1.1

Fatore $2$ de $2 \log_{8} (x - 2) \cdot 3$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 4}{3} = 2$

Etapa 1.4.1.2

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2}{3} = 2$

Etapa 1.4.1.3

Fatore $2$ de $2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3) + 2 \cdot 2$ .

$\frac{2 (\log_{8} (x - 2) \cdot 3 + 2)}{3} = 2$

Etapa 1.4.2

Mova $3$ para a esquerda de $\log_{8} (x - 2)$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} = 2$

Etapa 2

Multiplique os dois lados por $3$ .

$\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Etapa 3

Simplifique.

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Etapa 3.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1.1

Simplifique $\frac{2 (3 \log_{8} (x - 2) + 2)}{3} \cdot 3$ .

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Etapa 3.1.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 3.1.1.1.1

Simplifique $3 \log_{8} (x - 2)$ movendo $3$ para dentro do logaritmo.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2)}{3} \cdot 3 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.1.3

Reescreva a expressão.

$2 (\log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2) = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.3

Simplifique $2 \log_{8} ({(x - 2)}^{3})$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 2 \cdot 2 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.4

Multiplique $2$ por $2$ .

$\log_{8} ({({(x - 2)}^{3})}^{2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.5

Multiplique os expoentes em ${({(x - 2)}^{3})}^{2}$ .

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Etapa 3.1.1.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{3 \cdot 2}) + 4 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.1.1.5.2

Multiplique $3$ por $2$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 2 \cdot 3$

Etapa 3.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.2.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) + 4 = 6$

Etapa 4

Resolva $x$ .

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Etapa 4.1

Mova todos os termos que não contêm $\log_{8} ({(x - 2)}^{6})$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.1.1

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 6 - 4$

Etapa 4.1.2

Subtraia $4$ de $6$ .

$\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$

Etapa 4.2

Reescreva $\log_{8} ({(x - 2)}^{6}) = 2$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$8^{2} = {(x - 2)}^{6}$

Etapa 4.3

Resolva $x$ .

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Etapa 4.3.1

Reescreva a equação como ${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$ .

${(x - 2)}^{6} = 8^{2}$

Etapa 4.3.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{8^{2}}$

Etapa 4.3.3

Simplifique $\pm \sqrt[6]{8^{2}}$ .

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Etapa 4.3.3.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{64}$

Etapa 4.3.3.2

Reescreva $64$ como $2^{6}$ .

$x - 2 = \pm \sqrt[6]{2^{6}}$

Etapa 4.3.3.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x - 2 = \pm 2$

Etapa 4.3.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 4.3.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x - 2 = 2$

Etapa 4.3.4.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.4.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2 + 2$

Etapa 4.3.4.2.2

Some $2$ e $2$ .

$x = 4$

Etapa 4.3.4.3

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x - 2 = - 2$

Etapa 4.3.4.4

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 4.3.4.4.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = - 2 + 2$

Etapa 4.3.4.4.2

Some $- 2$ e $2$ .

$x = 0$

Etapa 4.3.4.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 4, 0$

Etapa 5

Exclua as soluções que não tornam $2 \log_{8} (x - 2) + \log_{8} (16) = 2$ verdadeira.

$x = 4$