Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} + x^{3} - 20 x = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Fatore $x$ de $x^{5} + x^{3} - 20 x$ .

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Etapa 1.1.1

Fatore $x$ de $x^{5}$ .

$x \cdot x^{4} + x^{3} - 20 x = 0$

Etapa 1.1.2

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} - 20 x = 0$

Etapa 1.1.3

Fatore $x$ de $- 20 x$ .

$x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2} + x \cdot - 20 = 0$

Etapa 1.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot x^{4} + x \cdot x^{2}$ .

$x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20 = 0$

Etapa 1.1.5

Fatore $x$ de $x (x^{4} + x^{2}) + x \cdot - 20$ .

$x (x^{4} + x^{2} - 20) = 0$

Etapa 1.2

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$x ({(x^{2})}^{2} + x^{2} - 20) = 0$

Etapa 1.3

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$x (u^{2} + u - 20) = 0$

Etapa 1.4

Fatore $u^{2} + u - 20$ usando o método AC.

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Etapa 1.4.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 20$ e cuja soma é $1$ .

$- 4, 5$

Etapa 1.4.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$x ((u - 4) (u + 5)) = 0$

Etapa 1.5

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$x ((x^{2} - 4) (x^{2} + 5)) = 0$

Etapa 1.6

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x ((x^{2} - 2^{2}) (x^{2} + 5)) = 0$

Etapa 1.7

Fatore.

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Etapa 1.7.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 2$ .

$x ((x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5)) = 0$

Etapa 1.7.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 3

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 4

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 4.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 4.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 5

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 5.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 6

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $x^{2} + 5$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 5 = 0$

Etapa 6.2

Resolva $x^{2} + 5 = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 5$

Etapa 6.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 5}$

Etapa 6.2.3

Simplifique $\pm \sqrt{- 5}$ .

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Etapa 6.2.3.1

Reescreva $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (5)}$

Etapa 6.2.3.2

Reescreva $\sqrt{- 1 (5)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{5}$

Etapa 6.2.3.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{5}$

Etapa 6.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 6.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i \sqrt{5}$

Etapa 6.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i \sqrt{5}$

Etapa 6.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $x (x + 2) (x - 2) (x^{2} + 5) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2, 2, i \sqrt{5}, - i \sqrt{5}$