Pré-cálculo Exemplos

$x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18 = 0$

Etapa 1

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Fatore $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ usando o teste das raízes racionais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

$q = \pm 1$

Etapa 1.1.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 18, \pm 2, \pm 9, \pm 3, \pm 6$

Etapa 1.1.3

Substitua $2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $2$ é uma raiz do polinômio.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Substitua $2$ no polinômio.

$2^{5} - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $5$ .

$32 - 8 \cdot 2^{4} + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.3

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$32 - 8 \cdot 16 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $- 8$ por $16$ .

$32 - 128 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.5

Subtraia $128$ de $32$ .

$- 96 + 22 \cdot 2^{3} - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- 96 + 22 \cdot 8 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.7

Multiplique $22$ por $8$ .

$- 96 + 176 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.8

Some $- 96$ e $176$ .

$80 - 26 \cdot 2^{2} + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.9

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$80 - 26 \cdot 4 + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.10

Multiplique $- 26$ por $4$ .

$80 - 104 + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.11

Subtraia $104$ de $80$ .

$- 24 + 21 \cdot 2 - 18$

Etapa 1.1.3.12

Multiplique $21$ por $2$ .

$- 24 + 42 - 18$

Etapa 1.1.3.13

Some $- 24$ e $42$ .

$18 - 18$

Etapa 1.1.3.14

Subtraia $18$ de $18$ .

$0$

Etapa 1.1.4

Como $2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $x - 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18}{x - 2}$

Etapa 1.1.5

Divida $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ por $x - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

Etapa 1.1.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

					$x^{4}$
	$x$	-	$2$		$x^{5}$	-	$8 x^{4}$	+	$22 x^{3}$	-	$26 x^{2}$	+	$21 x$	-	$18$

Etapa 1.1.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Etapa 1.1.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $x^{5} - 2 x^{4}$ .

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

Etapa 1.1.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

Etapa 1.1.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Etapa 1.1.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{4}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

Etapa 1.1.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Etapa 1.1.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{4} + 12 x^{3}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

Etapa 1.1.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

Etapa 1.1.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Etapa 1.1.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $10 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

Etapa 1.1.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Etapa 1.1.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $10 x^{3} - 20 x^{2}$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

Etapa 1.1.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

Etapa 1.1.5.16

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Etapa 1.1.5.17

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $- 6 x^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

Etapa 1.1.5.18

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Etapa 1.1.5.19

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $- 6 x^{2} + 12 x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

Etapa 1.1.5.20

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

Etapa 1.1.5.21

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Etapa 1.1.5.22

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $9 x$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

Etapa 1.1.5.23

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Etapa 1.1.5.24

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $9 x - 18$ .

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

Etapa 1.1.5.25

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$x^{4}$

$6 x^{3}$

$10 x^{2}$

$6 x$

$9$

$x$

$2$

$x^{5}$

$8 x^{4}$

$22 x^{3}$

$26 x^{2}$

$21 x$

$18$

$x^{5}$

$2 x^{4}$

$6 x^{4}$

$22 x^{3}$

$6 x^{4}$

$12 x^{3}$

$10 x^{3}$

$26 x^{2}$

$10 x^{3}$

$20 x^{2}$

$6 x^{2}$

$21 x$

$6 x^{2}$

$12 x$

$9 x$

$18$

$9 x$

$18$

$0$

Etapa 1.1.5.26

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9$

Etapa 1.1.6

Escreva $x^{5} - 8 x^{4} + 22 x^{3} - 26 x^{2} + 21 x - 18$ como um conjunto de fatores.

$(x - 2) (x^{4} - 6 x^{3} + 10 x^{2} - 6 x + 9) = 0$

Etapa 1.2

Reagrupe os termos.

$(x - 2) (- 6 x^{3} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.3

Fatore $- 6 x$ de $- 6 x^{3} - 6 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Fatore $- 6 x$ de $- 6 x^{3}$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.3.2

Fatore $- 6 x$ de $- 6 x$ .

$(x - 2) (- 6 x \cdot x^{2} - 6 x \cdot 1 + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.3.3

Fatore $- 6 x$ de $- 6 x (x^{2}) - 6 x (1)$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + x^{4} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.4

Reescreva $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + {(x^{2})}^{2} + 10 x^{2} + 9) = 0$

Etapa 1.5

Deixe $u = x^{2}$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + u^{2} + 10 u + 9) = 0$

Etapa 1.6

Fatore $u^{2} + 10 u + 9$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $9$ e cuja soma é $10$ .

$1, 9$

Etapa 1.6.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (u + 1) (u + 9)) = 0$

Etapa 1.7

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$(x - 2) (- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 1.8

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 6 x (x^{2} + 1) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.8.1

Fatore $x^{2} + 1$ de $- 6 x (x^{2} + 1)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 1.8.2

Fatore $x^{2} + 1$ de $(x^{2} + 1) (- 6 x) + (x^{2} + 1) (x^{2} + 9)$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 x + x^{2} + 9)) = 0$

Etapa 1.9

Deixe $u = x$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $x$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (- 6 u + u^{2} + 9)) = 0$

Etapa 1.10

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Reorganize os termos.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 9)) = 0$

Etapa 1.10.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 6 u + 3^{2})) = 0$

Etapa 1.10.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$6 u = 2 \cdot u \cdot 3$

Etapa 1.10.4

Reescreva o polinômio.

$(x - 2) ((x^{2} + 1) (u^{2} - 2 \cdot u \cdot 3 + 3^{2})) = 0$

Etapa 1.10.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = u$ e $b = 3$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(u - 3)}^{2}) = 0$

Etapa 1.11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.11.1

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x$ .

$(x - 2) ((x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2}) = 0$

Etapa 1.11.2

Remova os parênteses desnecessários.

$(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 2

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

$x^{2} + 1 = 0$

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 3

Defina $x - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina $x - 2$ como igual a $0$ .

$x - 2 = 0$

Etapa 3.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x = 2$

Etapa 4

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Defina $x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$x^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x^{2} = - 1$

Etapa 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 4.2.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 4.2.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 4.2.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 4.2.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 5

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina ${(x - 3)}^{2}$ como igual a $0$ .

${(x - 3)}^{2} = 0$

Etapa 5.2

Resolva ${(x - 3)}^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 5.2.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(x - 2) (x^{2} + 1) {(x - 3)}^{2} = 0$ verdadeiro.

$x = 2, i, - i, 3$