Pré-cálculo Exemplos

$e^{n} = 3^{n + 2}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{n}) = \ln (3^{n + 2})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln (e^{n})$ movendo $n$ para fora do logaritmo.

$n \ln (e) = \ln (3^{n + 2})$

Etapa 2.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$n \cdot 1 = \ln (3^{n + 2})$

Etapa 2.3

Multiplique $n$ por $1$ .

$n = \ln (3^{n + 2})$

Etapa 3

Expanda $\ln (3^{n + 2})$ movendo $n + 2$ para fora do logaritmo.

$n = (n + 2) \ln (3)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$n = n \ln (3) + 2 \ln (3)$

Etapa 5

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) = - n$

Etapa 6

Some $n$ aos dois lados da equação.

$- n \ln (3) - 2 \ln (3) + n = 0$

Etapa 7

Some $2 \ln (3)$ aos dois lados da equação.

$- n \ln (3) + n = 2 \ln (3)$

Etapa 8

Fatore $n$ de $- n \ln (3) + n$ .

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Etapa 8.1

Fatore $n$ de $- n \ln (3)$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Etapa 8.2

Eleve $n$ à potência de $1$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n = 2 \ln (3)$

Etapa 8.3

Fatore $n$ de $n^{1}$ .

$n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1 = 2 \ln (3)$

Etapa 8.4

Fatore $n$ de $n (- 1 \ln (3)) + n \cdot 1$ .

$n (- 1 \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Etapa 9

Reescreva $- 1 \ln (3)$ como $- \ln (3)$ .

$n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$

Etapa 10

Divida cada termo em $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ por $- \ln (3) + 1$ e simplifique.

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Etapa 10.1

Divida cada termo em $n (- \ln (3) + 1) = 2 \ln (3)$ por $- \ln (3) + 1$ .

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Etapa 10.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 10.2.1

Cancele o fator comum de $- \ln (3) + 1$ .

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Etapa 10.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{n (- \ln (3) + 1)}{- \ln (3) + 1} = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Etapa 10.2.1.2

Divida $n$ por $1$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Etapa 10.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.3.1

Fatore $- 1$ de $- \ln (3)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) + 1}$

Etapa 10.3.2

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- \ln (3) - 1 (- 1)}$

Etapa 10.3.3

Fatore $- 1$ de $- \ln (3) - 1 (- 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- (\ln (3) - 1)}$

Etapa 10.3.4

Reescreva os negativos.

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Etapa 10.3.4.1

Reescreva $- (\ln (3) - 1)$ como $- 1 (\ln (3) - 1)$ .

$n = \frac{2 \ln (3)}{- 1 (\ln (3) - 1)}$

Etapa 10.3.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$n = - \frac{2 \ln (3)}{\ln (3) - 1}$

Forma decimal:

$n = - 22.28144795 \dots$