Pré-cálculo Exemplos

$3 + \csc (x) = \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ dos dois lados da equação.

$\csc (x) - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Etapa 1.2

Reescreva $\csc (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Etapa 1.3

Para escrever $\frac{1}{\sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} = - 3$

Etapa 1.4

Para escrever $- \frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Etapa 1.5

Escreva cada expressão com um denominador comum de $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 1.5.1

Multiplique $\frac{1}{\sin (x)}$ por $\frac{3 - 2 \sin (x)}{3 - 2 \sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5}{3 - 2 \sin (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\sin (x)} = - 3$

Etapa 1.5.2

Multiplique $\frac{5}{3 - 2 \sin (x)}$ por $\frac{\sin (x)}{\sin (x)}$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)} = - 3$

Etapa 1.5.3

Reordene os fatores de $(3 - 2 \sin (x)) \sin (x)$ .

$\frac{3 - 2 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} - \frac{5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{3 - 2 \sin (x) - 5 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Etapa 1.7

Subtraia $5 \sin (x)$ de $- 2 \sin (x)$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x)), 1$

Etapa 2.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ por $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} = - 3$ por $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Cancele o fator comum de $\sin (x) (3 - 2 \sin (x))$ .

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Etapa 3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 - 7 \sin (x)}{\sin (x) (3 - 2 \sin (x))} (\sin (x) (3 - 2 \sin (x))) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Etapa 3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) (3 - 2 \sin (x)))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.3.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (\sin (x) \cdot 3 + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.2

Reordene.

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Etapa 3.3.1.2.1

Mova $3$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) + \sin (x) (- 2 \sin (x)))$

Etapa 3.3.1.2.2

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \cdot \sin (x) - 2 \sin (x) \sin (x))$

Etapa 3.3.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ somando os expoentes.

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Etapa 3.3.2.1

Mova $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 (\sin (x) \sin (x)))$

Etapa 3.3.2.2

Multiplique $\sin (x)$ por $\sin (x)$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x) - 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 3.3.3

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.3.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 - 7 \sin (x) = - 3 (3 \sin (x)) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 3.3.3.2

Multiplique.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) - 3 (- 2 \sin^{2} (x))$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 2$ por $- 3$ .

$3 - 7 \sin (x) = - 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x)$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Como $\sin (x)$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) = 3 - 7 \sin (x)$

Etapa 4.2

Mova todos os termos que contêm $\sin (x)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.2.1

Some $7 \sin (x)$ aos dois lados da equação.

$- 9 \sin (x) + 6 \sin^{2} (x) + 7 \sin (x) = 3$

Etapa 4.2.2

Some $- 9 \sin (x)$ e $7 \sin (x)$ .

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = 3$

Etapa 4.3

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$6 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - 3 = 0$

Etapa 4.4

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 4.5

Substitua os valores $a = 6$ , $b = - 2$ e $c = - 3$ na fórmula quadrática e resolva $\sin (x)$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (6 \cdot - 3)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6

Simplifique.

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Etapa 4.6.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.6.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 6 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 6 \cdot - 3$ .

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Etapa 4.6.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 24 \cdot - 3}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.2.2

Multiplique $- 24$ por $- 3$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 72}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.3

Some $4$ e $72$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{76}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.4

Reescreva $76$ como $2^{2} \cdot 19$ .

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Etapa 4.6.1.4.1

Fatore $4$ de $76$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{4 (19)}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 19}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{2 \cdot 6}$

Etapa 4.6.2

Multiplique $2$ por $6$ .

$\sin (x) = \frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$

Etapa 4.6.3

Simplifique $\frac{2 \pm 2 \sqrt{19}}{12}$ .

$\sin (x) = \frac{1 \pm \sqrt{19}}{6}$

Etapa 4.7

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}, \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Etapa 5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$

$\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 + \sqrt{19}}{6}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 + \sqrt{19}}{6})$ .

$x = 1.10430054$

Etapa 6.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Etapa 6.4

Resolva $x$ .

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Etapa 6.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 - 1.10430054$

Etapa 6.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) - 1.10430054$

Etapa 6.4.3

Subtraia $1.10430054$ de $3.14159265$ .

$x = 2.0372921$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Resolva $x$ em $\sin (x) = \frac{1 - \sqrt{19}}{6}$ .

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Etapa 7.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$

Etapa 7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.1

Avalie $\arcsin (\frac{1 - \sqrt{19}}{6})$ .

$x = - 0.59416431$

Etapa 7.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Etapa 7.4

Resolva $x$ .

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Etapa 7.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 0.59416431$

Etapa 7.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 0.59416431$

Etapa 7.4.3

Some $3.14159265$ e $0.59416431$ .

$x = 3.73575697$

Etapa 7.5

Encontre o período de $\sin (x)$ .

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Etapa 7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 7.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 7.6

Some $2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 7.6.1

Some $2 π$ com $- 0.59416431$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 0.59416431 + 2 π$

Etapa 7.6.2

Subtraia $0.59416431$ de $2 π$ .

$5.68902098$

Etapa 7.6.3

Liste os novos ângulos.

$x = 5.68902098$

Etapa 7.7

O período da função $\sin (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Liste todas as soluções.

$x = 1.10430054 + 2 π n, 2.0372921 + 2 π n, 3.73575697 + 2 π n, 5.68902098 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$