Pré-cálculo Exemplos

$9 (1 - \cos (x)) = \sin^{2} (x)$

Etapa 1

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{9 (1 - \cos (x))}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 2

Substitua $\cos (x)$ por uma expressão equivalente no numerador.

$9 (1 - \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$(9 \cdot 1 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4

Multiplique.

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Etapa 4.1

Multiplique $9$ por $1$ .

$(9 + 9 (- \cos (x))) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 4.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \sec (x) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(9 - 9 \cos (x)) \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6

Simplifique os termos.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 (\frac{1}{\cos (x)}) - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.2

Combine $9$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 \cos (x) \frac{1}{\cos (x)} = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $- 9 \cos (x)$ .

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.3.2

Cancele o fator comum.

$\frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot (- 9 \frac{1}{\cos (x)}) = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 6.3.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1

Separe as frações.

$\frac{9}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.2

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\frac{9}{1} \cdot \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 7.3

Divida $9$ por $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 8

Fatore $\sin (x)$ de $\sin^{2} (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$9 \sec (x) - 9 = \frac{\sin (x)}{1} \cdot \tan (x)$

Etapa 11

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$9 \sec (x) - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Etapa 12

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$9 \frac{1}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Etapa 12.1.2

Combine $9$ e $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \tan (x)$

Etapa 13

Simplifique o lado direito.

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Etapa 13.1

Simplifique $\sin (x) \tan (x)$ .

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Etapa 13.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 13.1.2

Multiplique $\sin (x) \frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

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Etapa 13.1.2.1

Combine $\sin (x)$ e $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 13.1.2.2

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin (x)}{\cos (x)}$

Etapa 13.1.2.3

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 13.1.2.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{{\sin (x)}^{1 + 1}}{\cos (x)}$

Etapa 13.1.2.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{9}{\cos (x)} - 9 = \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 14

Multiplique os dois lados da equação por $\cos (x)$ .

$\cos (x) (\frac{9}{\cos (x)} - 9) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 15

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 16

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 16.1

Cancele o fator comum.

$\cos (x) \frac{9}{\cos (x)} + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 16.2

Reescreva a expressão.

$9 + \cos (x) \cdot - 9 = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 17

Mova $- 9$ para a esquerda de $\cos (x)$ .

$9 - 9 \cdot \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 18

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 18.1

Cancele o fator comum.

$9 - 9 \cos (x) = \cos (x) \frac{\sin^{2} (x)}{\cos (x)}$

Etapa 18.2

Reescreva a expressão.

$9 - 9 \cos (x) = \sin^{2} (x)$

Etapa 19

Subtraia $\sin^{2} (x)$ dos dois lados da equação.

$9 - 9 \cos (x) - \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 20

Substitua $\sin^{2} (x)$ por $1 - \cos^{2} (x)$ .

$9 - 9 \cos (x) - (1 - \cos^{2} (x)) = 0$

Etapa 21

Resolva $x$ .

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Etapa 21.1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

$9 - 9 u - (1 - {(u)}^{2}) = 0$

Etapa 21.2

Simplifique $9 - 9 u - (1 - u^{2})$ .

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Etapa 21.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$9 - 9 u - 1 \cdot 1 - - u^{2} = 0$

Etapa 21.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 - 9 u - 1 - - u^{2} = 0$

Etapa 21.2.1.3

Multiplique $- - u^{2}$ .

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Etapa 21.2.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$9 - 9 u - 1 + 1 u^{2} = 0$

Etapa 21.2.1.3.2

Multiplique $u^{2}$ por $1$ .

$9 - 9 u - 1 + u^{2} = 0$

Etapa 21.2.2

Subtraia $1$ de $9$ .

$- 9 u + 8 + u^{2} = 0$

Etapa 21.3

Fatore $- 9 u + 8 + u^{2}$ usando o método AC.

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Etapa 21.3.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $8$ e cuja soma é $- 9$ .

$- 8, - 1$

Etapa 21.3.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 8) (u - 1) = 0$

Etapa 21.4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

$u - 1 = 0$

Etapa 21.5

Defina $u - 8$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 21.5.1

Defina $u - 8$ como igual a $0$ .

$u - 8 = 0$

Etapa 21.5.2

Some $8$ aos dois lados da equação.

$u = 8$

Etapa 21.6

Defina $u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 21.6.1

Defina $u - 1$ como igual a $0$ .

$u - 1 = 0$

Etapa 21.6.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$u = 1$

Etapa 21.7

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 8) (u - 1) = 0$ verdadeiro.

$u = 8, 1$

Etapa 21.8

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 8, 1$

Etapa 21.9

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = 8$

$\cos (x) = 1$

Etapa 21.10

Resolva $x$ em $\cos (x) = 8$ .

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Etapa 21.10.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $8$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 21.11

Resolva $x$ em $\cos (x) = 1$ .

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Etapa 21.11.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (1)$

Etapa 21.11.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 21.11.2.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 21.11.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 21.11.4

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 21.11.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 21.11.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 21.11.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 21.11.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 21.11.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 21.11.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21.12

Liste todas as soluções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 21.13

Consolide as respostas.

$x = 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$