Pré-cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Etapa 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\cos (x) = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\cos (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = \frac{1}{2}$

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

Etapa 5

Resolva $x$ em $\cos (x) = \frac{1}{2}$ .

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Etapa 5.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (\frac{1}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.1

O valor exato de $\arccos (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Etapa 5.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{3}$ .

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Etapa 5.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - π}{3}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{3}$

Etapa 5.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Resolva $x$ em $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de $\arccos (- \frac{1}{2})$ é $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.4

Simplifique $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Etapa 6.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Etapa 6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Etapa 6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.4.3.1

Multiplique $3$ por $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Etapa 6.4.3.2

Subtraia $2 π$ de $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Etapa 6.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{3} + 2 π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8

Consolide as soluções.

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Etapa 8.1

Consolide $\frac{π}{3} + 2 π n$ e $\frac{4 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{5 π}{3} + 2 π n, \frac{2 π}{3} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 8.2

Consolide $\frac{5 π}{3} + 2 π n$ e $\frac{2 π}{3} + 2 π n$ em $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$