Pré-cálculo Exemplos

{sin}^{2} (x) = \frac{1}{2}

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 2

Simplifique

$\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Reescreva

$\sqrt{\frac{1}{2}}$ como

$\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.2

Qualquer raiz de

$1$ é

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 2.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Multiplique

$\frac{1}{\sqrt{2}}$ por

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.2

Eleve

$\sqrt{2}$ à potência de

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 2.4.3

Eleve

$\sqrt{2}$ à potência de

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 2.4.4

Use a regra da multiplicação de potências

$a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 2.4.5

Some

$1$ e

$1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 2.4.6

Reescreva

${\sqrt{2}}^{2}$ como

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.1

Use

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever

$\sqrt{2}$ como

$2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes,

${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.4.6.3

Combine

$\frac{1}{2}$ e

$2$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4

Cancele o fator comum de

$2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 2.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 2.4.6.5

Avalie o expoente.

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Primeiro, use o valor positivo de

$\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.2

Depois, use o valor negativo de

$\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 4

Estabeleça cada uma das soluções para resolver

$x$ .

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

Resolva

$x$ em

$\sin (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 5.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

O valor exato de

$\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ é

$\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Etapa 5.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de

$π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4

Simplifique

$π - \frac{π}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Para escrever

$π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Combine

$π$ e

$\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 5.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 5.4.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.3.1

Mova

$4$ para a esquerda de

$π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 5.4.3.2

Subtraia

$π$ de

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 5.5

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 5.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 5.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 5.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 5.6

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 6

Resolva

$x$ em

$\sin (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Etapa 6.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair

$x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Etapa 6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.1

O valor exato de

$\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ é

$- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 6.3

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de

$2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com

$π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Etapa 6.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 6.4.1

Subtraia

$2 π$ de

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Etapa 6.4.2

O ângulo resultante de

$\frac{5 π}{4}$ é positivo, menor do que

$2 π$ e coterminal com

$2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Etapa 6.5

Encontre o período de

$\sin (x)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 6.5.2

Substitua

$b$ por

$1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre

$0$ e

$1$ é

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 6.5.4

Divida

$2 π$ por

$1$ .

$2 π$

Etapa 6.6

Some

$2 π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.1

Some

$2 π$ com

$- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Etapa 6.6.2

Para escrever

$2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por

$\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.3.1

Combine

$2 π$ e

$\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 6.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 6.6.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.6.4.1

Multiplique

$4$ por

$2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Etapa 6.6.4.2

Subtraia

$π$ de

$8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Etapa 6.6.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{7 π}{4}$

Etapa 6.7

O período da função

$\sin (x)$ é

$2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada

$2 π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 7

Liste todas as soluções.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , para qualquer número inteiro

$n$

Etapa 8

Consolide as respostas.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro

$n$