Pré-cálculo Exemplos

$(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique $(\tan (x) + 1) (\cos (x) - 1)$ .

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.2

Expanda $(\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1) (\cos (x) - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} (\cos (x) - 1) + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 (\cos (x) - 1) = 0$

Etapa 1.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.1

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 1.1.3.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.1.2

Reescreva a expressão.

$\sin (x) + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot - 1 + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.2

Combine $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ e $- 1$ .

$\sin (x) + \frac{\sin (x) \cdot - 1}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.3

Mova $- 1$ para a esquerda de $\sin (x)$ .

$\sin (x) + \frac{- 1 \cdot \sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + 1 \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) + 1 \cdot - 1 = 0$

Etapa 1.1.3.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\sin (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 1.1.4

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\sin (x) - \tan (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Etapa 2

Divida cada termo na equação por $\cos (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{- \tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 4

Separe as frações.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\tan (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 5

Reescreva $\tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 6

Reescreva $\frac{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}}{\cos (x)}$ como um produto.

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7

Combine frações.

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Etapa 7.1

Multiplique $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ por $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\tan (x) + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 7.2

Divida $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8

Simplifique o denominador.

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Etapa 8.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{{\cos (x)}^{1 + 1}} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 8.2

Some $1$ e $1$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 9

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\tan (x) - \frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 10

Separe as frações.

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 11

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\tan (x) - (\frac{1}{\cos (x)} \cdot \tan (x)) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 12

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 13

Cancele o fator comum de $\cos (x)$ .

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 13.2

Reescreva a expressão.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 14

Separe as frações.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 15

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 + \frac{- 1}{1} \cdot \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 16

Divida $- 1$ por $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{\cos (x)}$

Etapa 17

Separe as frações.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Etapa 18

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Etapa 19

Divida $0$ por $1$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0 \sec (x)$

Etapa 20

Multiplique $0$ por $\sec (x)$ .

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Etapa 21

Fatore $\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x)$ .

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Etapa 21.1

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 21.1.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\tan (x) - \sec (x) \tan (x) + 1 - \sec (x) = 0$

Etapa 21.1.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\tan (x) \cdot (1 - \sec (x)) + 1 (1 - \sec (x)) = 0$

Etapa 21.2

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $1 - \sec (x)$ .

$(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$

Etapa 22

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 23

Defina $1 - \sec (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 23.1

Defina $1 - \sec (x)$ como igual a $0$ .

$1 - \sec (x) = 0$

Etapa 23.2

Resolva $1 - \sec (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 23.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- \sec (x) = - 1$

Etapa 23.2.2

Divida cada termo em $- \sec (x) = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 23.2.2.1

Divida cada termo em $- \sec (x) = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sec (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 23.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 23.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sec (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 23.2.2.2.2

Divida $\sec (x)$ por $1$ .

$\sec (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 23.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 23.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$\sec (x) = 1$

Etapa 23.2.3

Obtenha a secante inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da secante.

$x = arcsec (1)$

Etapa 23.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 23.2.4.1

O valor exato de $arcsec (1)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 23.2.5

A função secante é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Etapa 23.2.6

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 π$

Etapa 23.2.7

Encontre o período de $\sec (x)$ .

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Etapa 23.2.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 23.2.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 23.2.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 23.2.7.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 23.2.8

O período da função $\sec (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 24

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 24.1

Defina $\tan (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Etapa 24.2

Resolva $\tan (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 24.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\tan (x) = - 1$

Etapa 24.2.2

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- 1)$

Etapa 24.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 24.2.3.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Etapa 24.2.4

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 24.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 24.2.5.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 24.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 24.2.6

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 24.2.6.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 24.2.6.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 24.2.6.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 24.2.6.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 24.2.7

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 24.2.7.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 24.2.7.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 24.2.7.3

Combine frações.

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Etapa 24.2.7.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 24.2.7.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 24.2.7.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 24.2.7.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 24.2.7.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 24.2.7.5

Liste os novos ângulos.

$x = \frac{3 π}{4}$

Etapa 24.2.8

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 25

A solução final são todos os valores que tornam $(1 - \sec (x)) (\tan (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 26

Consolide $2 π n$ e $2 π + 2 π n$ em $2 π n$ .

$x = 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$