Pré-cálculo Exemplos

$\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$

Etapa 1

Divida cada termo em $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\tan (\frac{x}{2})$ e simplifique.

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Etapa 1.1

Divida cada termo em $\tan (\frac{x}{2}) = \sin (\frac{x}{2})$ por $\tan (\frac{x}{2})$ .

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.2.1

Cancele o fator comum de $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\tan (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})} = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.2.1.2

Reescreva a expressão.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\tan (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.3.1

Reescreva $\tan (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}}$

Etapa 1.3.2

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{\sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$1 = \sin (\frac{x}{2}) \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.3.3

Escreva $\sin (\frac{x}{2})$ como uma fração com denominador $1$ .

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.3.4

Cancele o fator comum de $\sin (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$1 = \frac{\sin (\frac{x}{2})}{1} \cdot \frac{\cos (\frac{x}{2})}{\sin (\frac{x}{2})}$

Etapa 1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$1 = \cos (\frac{x}{2})$

Etapa 2

Reescreva a equação como $\cos (\frac{x}{2}) = 1$ .

$\cos (\frac{x}{2}) = 1$

Etapa 3

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$\frac{x}{2} = \arccos (1)$

Etapa 4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\arccos (1)$ é $0$ .

$\frac{x}{2} = 0$

Etapa 5

Defina o numerador como igual a zero.

$x = 0$

Etapa 6

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = 2 π - 0$

Etapa 7

Resolva $x$ .

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Etapa 7.1

Multiplique os dois lados da equação por $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.2

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 7.2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{x}{2} = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$x = 2 (2 π - 0)$

Etapa 7.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.1

Simplifique $2 (2 π - 0)$ .

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Etapa 7.2.2.1.1

Subtraia $0$ de $2 π$ .

$x = 2 (2 π)$

Etapa 7.2.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = 4 π$

Etapa 8

Encontre o período de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 8.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 8.2

Substitua $b$ por $\frac{1}{2}$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| \frac{1}{2} |}$

Etapa 8.3

$\frac{1}{2}$ é aproximadamente $0.5$ , que é positivo, então remova o valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{1}{2}}$

Etapa 8.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$2 π \cdot 2$

Etapa 8.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 π$

Etapa 9

O período da função $\cos (\frac{x}{2})$ é $4 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $4 π$ radianos nas duas direções.

$x = 4 π n, 4 π + 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Consolide as respostas.

$x = 4 π n$ , para qualquer número inteiro $n$