Pré-cálculo Exemplos

$2^{2 x} + 2^{x + 2} = 12$

Etapa 1

Reescreva $2^{x + 2}$ como $2^{x} \cdot 2^{2}$ .

$2^{2 x} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Etapa 2

Reescreva $2^{2 x}$ como exponenciação.

${(2^{x})}^{2} + 2^{x} \cdot 2^{2} = 12$

Etapa 3

Substitua $u$ por $2^{x}$ .

$u^{2} + u \cdot 2^{2} = 12$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$u^{2} + u \cdot 4 = 12$

Etapa 4.2

Mova $4$ para a esquerda de $u$ .

$u^{2} + 4 u = 12$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$u^{2} + 4 u - 12 = 0$

Etapa 5.2

Fatore $u^{2} + 4 u - 12$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $4$ .

$- 2, 6$

Etapa 5.2.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$(u - 2) (u + 6) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

$u + 6 = 0$

Etapa 5.4

Defina $u - 2$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $u - 2$ como igual a $0$ .

$u - 2 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$u = 2$

Etapa 5.5

Defina $u + 6$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $u + 6$ como igual a $0$ .

$u + 6 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$u = - 6$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $(u - 2) (u + 6) = 0$ verdadeiro.

$u = 2, - 6$

Etapa 6

Substitua $2$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$2 = 2^{x}$

Etapa 7

Resolva $2 = 2^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $2^{x} = 2$ .

$2^{x} = 2$

Etapa 7.2

Crie expressões equivalentes na equação que tenham bases iguais.

$2^{x} = 2^{1}$

Etapa 7.3

Como as bases são iguais, as duas expressões só serão iguais quando os expoentes também forem iguais.

$x = 1$

Etapa 8

Substitua $- 6$ por $u$ em $u = 2^{x}$ .

$- 6 = 2^{x}$

Etapa 9

Resolva $- 6 = 2^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $2^{x} = - 6$ .

$2^{x} = - 6$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (2^{x}) = \ln (- 6)$

Etapa 9.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (- 6)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 9.4

Não há uma solução para $2^{x} = - 6$

Nenhuma solução

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = 1$