Pré-cálculo Exemplos

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} = 3$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $e^{x} - e^{- x}$ .

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $e^{x} - e^{- x}$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} + e^{- x}}{e^{x} - e^{- x}} (e^{x} - e^{- x}) = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{x} + e^{- x} = 3 (e^{x} - e^{- x})$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Simplifique $3 (e^{x} - e^{- x})$ .

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Etapa 2.2.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} + 3 (- e^{- x})$

Etapa 2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$e^{x} + e^{- x} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u + u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.4

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$u + \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 {(e^{x})}^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.5

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 u^{- 1} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.6.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u - 3 \frac{1}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.6.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{u}$ .

$u + \frac{1}{u} = 3 u + \frac{- 3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.6.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$u + \frac{1}{u} = 3 u - \frac{3}{u} = 3 e^{x} - 3 e^{- x}$

Etapa 3.7

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 3.7.1

Subtraia $3 e^{x}$ dos dois lados da equação.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} = - 3 e^{- x}$

Etapa 3.7.2

Some $3 e^{- x}$ aos dois lados da equação.

$e^{x} + e^{- x} - 3 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Etapa 3.7.3

Subtraia $3 e^{x}$ de $e^{x}$ .

$e^{- x} - 2 e^{x} + 3 e^{- x} = 0$

Etapa 3.7.4

Some $e^{- x}$ e $3 e^{- x}$ .

$4 e^{- x} - 2 e^{x} = 0$

Etapa 3.8

Mova $- 2 e^{x}$ para o lado direito da equação, somando-o aos dois lados.

$4 e^{- x} = 2 e^{x}$

Etapa 3.9

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (4 e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Etapa 3.10

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.10.1

Reescreva $\ln (4 e^{- x})$ como $\ln (4) + \ln (e^{- x})$ .

$\ln (4) + \ln (e^{- x}) = \ln (2 e^{x})$

Etapa 3.10.2

Expanda $\ln (e^{- x})$ movendo $- x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) - x \ln (e) = \ln (2 e^{x})$

Etapa 3.10.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) - x \cdot 1 = \ln (2 e^{x})$

Etapa 3.10.4

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2 e^{x})$

Etapa 3.11

Expanda o lado direito.

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Etapa 3.11.1

Reescreva $\ln (2 e^{x})$ como $\ln (2) + \ln (e^{x})$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + \ln (e^{x})$

Etapa 3.11.2

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \ln (e)$

Etapa 3.11.3

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x \cdot 1$

Etapa 3.11.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$\ln (4) - x = \ln (2) + x$

Etapa 3.12

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$\ln (4) - \ln (2) = x + x$

Etapa 3.13

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{4}{2}) = x + x$

Etapa 3.14

Divida $4$ por $2$ .

$\ln (2) = x + x$

Etapa 3.15

Some $x$ e $x$ .

$\ln (2) = 2 x$

Etapa 3.16

Como $x$ está do lado direito da equação, troque os lados para que ela fique do lado esquerdo da equação.

$2 x = \ln (2)$

Etapa 3.17

Divida cada termo em $2 x = \ln (2)$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 3.17.1

Divida cada termo em $2 x = \ln (2)$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 3.17.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.17.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.17.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 3.17.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (2)}{2}$

Forma decimal:

$x = 0.34657359 \dots$