Pré-cálculo Exemplos

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} = 4$

Etapa 1

Multiplique os dois lados por $2$ .

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.1.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{e^{x} - e^{- x}}{2} \cdot 2 = 4 \cdot 2$

Etapa 2.1.1.2

Reescreva a expressão.

$e^{x} - e^{- x} = 4 \cdot 2$

Etapa 2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 2.2.1

Multiplique $4$ por $2$ .

$e^{x} - e^{- x} = 8$

Etapa 3

Resolva $x$ .

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Etapa 3.1

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$e^{x} - {(e^{x})}^{- 1} = 8$

Etapa 3.2

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$u - u^{- 1} = 8$

Etapa 3.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$u - \frac{1}{u} = 8$

Etapa 3.4

Resolva $u$ .

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Etapa 3.4.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 3.4.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 3.4.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 3.4.2

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} = 8$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.4.2.1

Multiplique cada termo em $u - \frac{1}{u} = 8$ por $u$ .

$u \cdot u - \frac{1}{u} u = 8 u$

Etapa 3.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.4.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.4.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ .

$u^{2} - \frac{1}{u} u = 8 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 3.4.2.2.1.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{u}$ para o numerador.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 8 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$u^{2} + \frac{- 1}{u} u = 8 u$

Etapa 3.4.2.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$u^{2} - 1 = 8 u$

Etapa 3.4.3

Resolva a equação.

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Etapa 3.4.3.1

Subtraia $8 u$ dos dois lados da equação.

$u^{2} - 1 - 8 u = 0$

Etapa 3.4.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3.4.3.3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 8$ e $c = - 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{8 \pm \sqrt{{(- 8)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 3.4.3.4.1.1

Eleve $- 8$ à potência de $2$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

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Etapa 3.4.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.3

Some $64$ e $4$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{68}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4

Reescreva $68$ como $2^{2} \cdot 17$ .

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Etapa 3.4.3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $68$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{4 (17)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{8 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{17}}{2 \cdot 1}$

Etapa 3.4.3.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{8 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$

Etapa 3.4.3.4.3

Simplifique $\frac{8 \pm 2 \sqrt{17}}{2}$ .

$u = 4 \pm \sqrt{17}$

Etapa 3.4.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 4 + \sqrt{17}, 4 - \sqrt{17}$

Etapa 3.5

Substitua $4 + \sqrt{17}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$4 + \sqrt{17} = e^{x}$

Etapa 3.6

Resolva $4 + \sqrt{17} = e^{x}$ .

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Etapa 3.6.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 4 + \sqrt{17}$ .

$e^{x} = 4 + \sqrt{17}$

Etapa 3.6.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 + \sqrt{17})$

Etapa 3.6.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 3.6.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (4 + \sqrt{17})$

Etapa 3.6.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (4 + \sqrt{17})$

Etapa 3.6.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (4 + \sqrt{17})$

Etapa 3.7

Substitua $4 - \sqrt{17}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$4 - \sqrt{17} = e^{x}$

Etapa 3.8

Resolva $4 - \sqrt{17} = e^{x}$ .

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Etapa 3.8.1

Reescreva a equação como $e^{x} = 4 - \sqrt{17}$ .

$e^{x} = 4 - \sqrt{17}$

Etapa 3.8.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (4 - \sqrt{17})$

Etapa 3.8.3

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (4 - \sqrt{17})$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 3.8.4

Não há uma solução para $e^{x} = 4 - \sqrt{17}$

Nenhuma solução

Etapa 3.9

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (4 + \sqrt{17})$

Etapa 4

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (4 + \sqrt{17})$

Forma decimal:

$x = 2.09471254 \dots$