Pré-cálculo Exemplos

${(2.221)}^{x} = (\frac{1}{2}) ({0.75}^{x + 2})$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo dos dois lados da equação.

$\ln ({2.221}^{x}) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Etapa 2

Expanda $\ln ({2.221}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$

Etapa 3

Reescreva $\ln (\frac{1}{2} \cdot {0.75}^{x + 2})$ como $\ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$ .

$x \ln (2.221) = \ln (\frac{1}{2}) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Etapa 4

Reescreva $\ln (\frac{1}{2})$ como $\ln (1) - \ln (2)$ .

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + \ln ({0.75}^{x + 2})$

Etapa 5

Expanda $\ln ({0.75}^{x + 2})$ movendo $x + 2$ para fora do logaritmo.

$x \ln (2.221) = \ln (1) - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Etapa 6

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$x \ln (2.221) = 0 - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Etapa 7

Subtraia $\ln (2)$ de $0$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + (x + 2) \ln (0.75)$

Etapa 8

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 8.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 8.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + 2 \ln (0.75)$

Etapa 8.1.1.2

Simplifique $2 \ln (0.75)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln ({0.75}^{2})$

Etapa 8.1.1.3

Eleve $0.75$ à potência de $2$ .

$x \ln (2.221) = - \ln (2) + x \ln (0.75) + \ln (0.5625)$

Etapa 8.2

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$x \ln (2.221) + \ln (2) - x \ln (0.75) - \ln (0.5625) = 0$

Etapa 8.3

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (\frac{2}{0.5625}) = 0$

Etapa 8.4

Divida $2$ por $0.5625$ .

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) + \ln (3.\overline{5}) = 0$

Etapa 8.5

Subtraia $\ln (3.\overline{5})$ dos dois lados da equação.

$x \ln (2.221) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Etapa 8.6

Fatore $x$ de $x \ln (2.221) - x \ln (0.75)$ .

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Etapa 8.6.1

Fatore $x$ de $x \ln (2.221)$ .

$x (\ln (2.221)) - x \ln (0.75) = - \ln (3.\overline{5})$

Etapa 8.6.2

Fatore $x$ de $- x \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Etapa 8.6.3

Fatore $x$ de $x (\ln (2.221)) + x (- 1 \ln (0.75))$ .

$x (\ln (2.221) - 1 \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Etapa 8.7

Reescreva $- 1 \ln (0.75)$ como $- \ln (0.75)$ .

$x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$

Etapa 8.8

Divida cada termo em $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ por $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ e simplifique.

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Etapa 8.8.1

Divida cada termo em $x (\ln (2.221) - \ln (0.75)) = - \ln (3.\overline{5})$ por $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Etapa 8.8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.8.2.1

Cancele o fator comum de $\ln (2.221) - \ln (0.75)$ .

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Etapa 8.8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x (\ln (2.221) - \ln (0.75))}{\ln (2.221) - \ln (0.75)} = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Etapa 8.8.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Etapa 8.8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (3.\overline{5})}{\ln (2.221) - \ln (0.75)}$

Forma decimal:

$x = - 1.16844605 \dots$