Pré-cálculo Exemplos

${(\frac{4}{5})}^{6 x + 1} = \frac{5}{4}$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1}) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(\frac{4}{5})}^{6 x + 1})$ movendo $6 x + 1$ para fora do logaritmo.

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 2.2

Reescreva $\ln (\frac{4}{5})$ como $\ln (4) - \ln (5)$ .

$(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5)) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(6 x + 1) (\ln (4) - \ln (5))$ .

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Etapa 3.1.1

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$(6 x + 1) \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 3.1.2

Aplique a propriedade distributiva.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + 1 \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 3.1.3

Multiplique $\ln (\frac{4}{5})$ por $1$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) = \ln (\frac{5}{4})$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5}) - \ln (\frac{5}{4}) = 0$

Etapa 5

Use a propriedade dos logaritmos do quociente, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{\frac{4}{5}}{\frac{5}{4}}) = 0$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}) = 0$

Etapa 6.2

Multiplique $\frac{4}{5} \cdot \frac{4}{5}$ .

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Etapa 6.2.1

Multiplique $\frac{4}{5}$ por $\frac{4}{5}$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 5}) = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{5 \cdot 5}) = 0$

Etapa 6.2.3

Multiplique $5$ por $5$ .

$6 x \ln (\frac{4}{5}) + \ln (\frac{16}{25}) = 0$

Etapa 7

Subtraia $\ln (\frac{16}{25})$ dos dois lados da equação.

$6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$

Etapa 8

Divida cada termo em $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ por $6 \ln (\frac{4}{5})$ e simplifique.

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Etapa 8.1

Divida cada termo em $6 x \ln (\frac{4}{5}) = - \ln (\frac{16}{25})$ por $6 \ln (\frac{4}{5})$ .

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 8.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 8.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 8.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x \ln (\frac{4}{5})}{6 \ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 8.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 8.2.2

Cancele o fator comum de $\ln (\frac{4}{5})$ .

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Etapa 8.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x \ln (\frac{4}{5})}{\ln (\frac{4}{5})} = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 8.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- \ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 8.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = - \frac{\ln (\frac{16}{25})}{6 \ln (\frac{4}{5})}$

Forma decimal:

$x = - 0.\overline{3}$