Pré-cálculo Exemplos

${(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1} = 8$

Etapa 1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1}) = \ln (8)$

Etapa 2

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 2.1

Expanda $\ln ({(2^{2 x} \cdot 2^{2 x})}^{x - 1})$ movendo $x - 1$ para fora do logaritmo.

$(x - 1) \ln (2^{2 x} \cdot 2^{2 x}) = \ln (8)$

Etapa 2.2

Multiplique $2^{2 x}$ por $2^{2 x}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$(x - 1) \ln (2^{2 x + 2 x}) = \ln (8)$

Etapa 2.2.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$(x - 1) \ln (2^{4 x}) = \ln (8)$

Etapa 2.3

Expanda $\ln (2^{4 x})$ movendo $4 x$ para fora do logaritmo.

$(x - 1) (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $(x - 1) (4 x \ln (2))$ .

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Etapa 3.1.1

Simplifique multiplicando.

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Etapa 3.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$x (4 x \ln (2)) - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Etapa 3.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 3.1.1.2.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \ln (2) x \cdot x - 1 (4 x \ln (2)) = \ln (8)$

Etapa 3.1.1.2.2

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$4 \ln (2) x \cdot x - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Etapa 3.1.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 3.1.2.1

Mova $x$ .

$4 \ln (2) (x \cdot x) - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

Etapa 3.1.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$4 \ln (2) x^{2} - 4 (x \ln (2)) = \ln (8)$

$4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Etapa 3.1.3

Reordene os fatores em $4 \ln (2) x^{2} - 4 x \ln (2)$ .

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) = \ln (8)$

Etapa 4

Mova todos os termos que contêm um logaritmo para o lado esquerdo da equação.

$4 x^{2} \ln (2) - 4 x \ln (2) - \ln (8) = 0$

Etapa 5

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 6

Substitua os valores $a = 4 \ln (2)$ , $b = - 4 \ln (2)$ e $c = - \ln (8)$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 \ln (2) \cdot (- \ln (8)))}}{2 (4 \ln (2))}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1.1

Adicione parênteses.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4 \ln (2))}^{2} - 4 \cdot (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.2

Deixe $u = 4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ . Substitua $u$ em todas as ocorrências de $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

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Etapa 7.1.2.1

Aplique a regra do produto a $- 4 \ln (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(- 4)}^{2} \ln^{2} (2) - 4 \cdot u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.2.2

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln^{2} (2) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.3

Fatore $4$ de $16 \ln^{2} (2) - 4 u$ .

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Etapa 7.1.3.1

Fatore $4$ de $16 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) - 4 u}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.3.2

Fatore $4$ de $- 4 u$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.3.3

Fatore $4$ de $4 (4 \ln^{2} (2)) + 4 (- u)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - u)}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (\ln (2) \cdot (- \ln (8)))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.5

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.5.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (4 (- \ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.5.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) - (- 4 (\ln (2) \ln (8))))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.5.3

Multiplique $- 4$ por $- 1$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.6

Fatore $4 \ln (2)$ de $4 \ln^{2} (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

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Etapa 7.1.6.1

Fatore $4 \ln (2)$ de $4 \ln^{2} (2)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.6.2

Fatore $4 \ln (2)$ de $4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.6.3

Fatore $4 \ln (2)$ de $4 \ln (2) \ln (2) + 4 \ln (2) \ln (8)$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4 \cdot (4 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.7

Multiplique $4$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.8

Reescreva $16 \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))$ como ${(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))$ .

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Etapa 7.1.8.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{4^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.8.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} \ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.8.3

Adicione parênteses.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm \sqrt{{(2^{2})}^{2} (\ln (2) (\ln (2) + \ln (8)))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.9

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 2^{2} \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.1.10

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \cdot (4 \ln (2))}$

Etapa 7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$x = \frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$

Etapa 7.3

Simplifique $\frac{4 \ln (2) \pm 4 \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{8 \ln (2)}$ .

$x = \frac{\ln (2) \pm \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Etapa 8

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \frac{\ln (2) + \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}, \frac{\ln (2) - \sqrt{\ln (2) (\ln (2) + \ln (8))}}{2 \ln (2)}$

Forma decimal:

$x = 1.5, - 0.5$