Pré-cálculo Exemplos

$\cos^{2} (x) - 2.4 \cos (x) - 0.81 = 0$

Etapa 1

Substitua $u$ por $\cos (x)$ .

${(u)}^{2} - 2.4 u - 0.81 = 0$

Etapa 2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 3

Substitua os valores $a = 1$ , $b = - 2.4$ e $c = - 0.81$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{2.4 \pm \sqrt{{(- 2.4)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 0.81)}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Eleve $- 2.4$ à potência de $2$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot 1 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot - 0.81$ .

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Etapa 4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 - 4 \cdot - 0.81}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $- 0.81$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{5.76 + 3.24}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.3

Some $5.76$ e $3.24$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{9}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$u = \frac{2.4 \pm \sqrt{3^{2}}}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2 \cdot 1}$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$u = \frac{2.4 \pm 3}{2}$

Etapa 5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = 2.7, - 0.3$

Etapa 6

Substitua $\cos (x)$ por $u$ .

$\cos (x) = 2.7, - 0.3$

Etapa 7

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $x$ .

$\cos (x) = 2.7$

$\cos (x) = - 0.3$

Etapa 8

Resolva $x$ em $\cos (x) = 2.7$ .

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Etapa 8.1

O intervalo do cosseno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $2.7$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 9

Resolva $x$ em $\cos (x) = - 0.3$ .

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Etapa 9.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (- 0.3)$

Etapa 9.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 9.2.1

Avalie $\arccos (- 0.3)$ .

$x = 1.87548898$

Etapa 9.3

A função do cosseno é negativa no segundo e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

Etapa 9.4

Resolva $x$ .

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Etapa 9.4.1

Remova os parênteses.

$x = 2 (3.14159265) - 1.87548898$

Etapa 9.4.2

Simplifique $2 (3.14159265) - 1.87548898$ .

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Etapa 9.4.2.1

Multiplique $2$ por $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.87548898$

Etapa 9.4.2.2

Subtraia $1.87548898$ de $6.2831853$ .

$x = 4.40769632$

Etapa 9.5

Encontre o período de $\cos (x)$ .

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Etapa 9.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Etapa 9.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Etapa 9.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Etapa 9.5.4

Divida $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Etapa 9.6

O período da função $\cos (x)$ é $2 π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $2 π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10

Liste todas as soluções.

$x = 1.87548898 + 2 π n, 4.40769632 + 2 π n$ , para qualquer número inteiro $n$