Pré-cálculo Exemplos

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 1

Substitua $\csc^{2} (u)$ por $\cot^{2} (u) + 1$ com base na identidade $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$(\cot^{2} (u) + 1) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 2

Reordene o polinômio.

$\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.1

Simplifique $\cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) + 1$ .

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Etapa 3.1.1

Mova $1$ .

$\cot^{2} (u) + 1 - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.2

Reorganize os termos.

$1 + \cot^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.3

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\csc^{2} (u) - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4

Simplifique os termos.

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Etapa 3.1.4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.1.1

Reescreva $\csc (u)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\sin (u)}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - \cos (u) \sec (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.4

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 3.1.4.1.4.1

Adicione parênteses.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\cos (u) \sec (u)) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.4.2

Reordene $\cos (u)$ e $\sec (u)$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\sec (u) \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.4.3

Reescreva $- \cos (u) \sec (u)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - (\frac{1}{\cos (u)} \cos (u)) = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.4.4

Cancele os fatores comuns.

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 \cdot 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.1.4.2.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)} - 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.2.2

Reescreva $\frac{1^{2}}{\sin^{2} (u)}$ como ${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2}$ .

${(\frac{1}{\sin (u)})}^{2} - 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.4.2.3

Converta de $\frac{1}{\sin (u)}$ em $\csc (u)$ .

$\csc^{2} (u) - 1 = \cot^{2} (u)$

Etapa 3.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\cot^{2} (u) = \cot^{2} (u)$

Etapa 4

Como os expoentes são iguais, as bases deles nos dois lados da equação devem ser iguais.

$| \cot (u) | = | \cot (u) |$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Reescreva a equação de valor absoluto como quatro equações sem barras de valor absoluto.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

$- \cot (u) = \cot (u)$

$- \cot (u) = - \cot (u)$

Etapa 5.2

Depois de simplificar, há apenas duas equações únicas para resolver.

$\cot (u) = \cot (u)$

$\cot (u) = - \cot (u)$

Etapa 5.3

Resolva $\cot (u) = \cot (u)$ para $u$ .

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Etapa 5.3.1

Para que as duas funções sejam iguais, os argumentos de cada uma delas devem ser iguais.

$u = u$

Etapa 5.3.2

Mova todos os termos que contêm $u$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.3.2.1

Subtraia $u$ dos dois lados da equação.

$u - u = 0$

Etapa 5.3.2.2

Subtraia $u$ de $u$ .

$0 = 0$

Etapa 5.3.3

Como $0 = 0$ , a equação sempre será verdadeira.

Todos os números reais

Etapa 5.4

Resolva $\cot (u) = - \cot (u)$ para $u$ .

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Etapa 5.4.1

Mova todos os termos que contêm $\cot (u)$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.4.1.1

Some $\cot (u)$ aos dois lados da equação.

$\cot (u) + \cot (u) = 0$

Etapa 5.4.1.2

Some $\cot (u)$ e $\cot (u)$ .

$2 \cot (u) = 0$

Etapa 5.4.2

Divida cada termo em $2 \cot (u) = 0$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 5.4.2.1

Divida cada termo em $2 \cot (u) = 0$ por $2$ .

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.4.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.4.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cot (u)}{2} = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.2.1.2

Divida $\cot (u)$ por $1$ .

$\cot (u) = \frac{0}{2}$

Etapa 5.4.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.2.3.1

Divida $0$ por $2$ .

$\cot (u) = 0$

Etapa 5.4.3

Obtenha a cotangente inversa dos dois lados da equação para extrair $u$ de dentro da cotangente.

$u = arccot (0)$

Etapa 5.4.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.4.4.1

O valor exato de $arccot (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$u = \frac{π}{2}$

Etapa 5.4.5

A função da cotangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$u = π + \frac{π}{2}$

Etapa 5.4.6

Simplifique $π + \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.4.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$u = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.4.6.2

Combine frações.

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Etapa 5.4.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{2}{2}$ .

$u = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Etapa 5.4.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$u = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Etapa 5.4.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.4.6.3.1

Mova $2$ para a esquerda de $π$ .

$u = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Etapa 5.4.6.3.2

Some $2 π$ e $π$ .

$u = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.4.7

Encontre o período de $\cot (u)$ .

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Etapa 5.4.7.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 5.4.7.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 5.4.7.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 5.4.7.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 5.4.8

O período da função $\cot (u)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$u = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 6

Consolide as respostas.

$u = \frac{π}{2} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$