Pré-cálculo Exemplos

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1} = \frac{1}{4}$

Etapa 1

Fatore cada termo.

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Etapa 1.1

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{v^{2} - 1^{2}} = \frac{1}{4}$

Etapa 1.2

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = v$ e $b = 1$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$

Etapa 2

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 2.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$2 (v - 1), (v + 1) (v - 1), 4$

Etapa 2.2

O MMC é o menor número positivo pelo qual todos os números se dividem uniformemente.

1. Liste os fatores primos de cada número.

2. Multiplique cada fator pelo maior número de vezes em que ele ocorre em cada número.

Etapa 2.3

Como $2$ não tem fatores além de $1$ e $2$ .

$2$ é um número primo

Etapa 2.4

O número $1$ não é primo porque tem apenas um fator positivo, que é ele mesmo.

Não é primo

Etapa 2.5

$4$ tem fatores de $2$ e $2$ .

$2 \cdot 2$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4$

Etapa 2.7

O fator de $v - 1$ é o próprio $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.8

O fator de $v + 1$ é o próprio $v + 1$ .

$(v + 1) = v + 1$

$(v + 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.9

O fator de $v - 1$ é o próprio $v - 1$ .

$(v - 1) = v - 1$

$(v - 1)$ ocorre $1$ vez.

Etapa 2.10

O MMC de $v - 1, v + 1, v - 1$ é o resultado da multiplicação de todos os fatores pelo maior número de vezes que eles ocorrem em qualquer um dos termos.

$(v - 1) (v + 1)$

Etapa 2.11

O mínimo múltiplo comum $LCM$ de alguns números é o menor número do qual os números são fatores.

$4 (v - 1) (v + 1)$

Etapa 3

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ por $4 (v - 1) (v + 1)$ para eliminar as frações.

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Etapa 3.1

Multiplique cada termo em $\frac{1}{2 (v - 1)} + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} = \frac{1}{4}$ por $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$\frac{1}{2 (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.2.1.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 3.2.1.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$2 (2) \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot 2 \frac{1}{2 (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.2.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.3

Combine $2$ e $\frac{1}{v - 1}$ .

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.4

Cancele o fator comum de $v - 1$ .

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Etapa 3.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{v - 1} ((v - 1) (v + 1)) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$2 (v + 1) + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v + 2 \cdot 1 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 v + 2 + \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} (4 (v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.7

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 v + 2 + 4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.8

Multiplique $4 \frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

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Etapa 3.2.1.8.1

Combine $4$ e $\frac{3}{(v + 1) (v - 1)}$ .

$2 v + 2 + \frac{4 \cdot 3}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.8.2

Multiplique $4$ por $3$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v + 1) (v - 1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.9

Cancele o fator comum de $(v - 1) (v + 1)$ .

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Etapa 3.2.1.9.1

Fatore $(v - 1) (v + 1)$ de $(v + 1) (v - 1)$ .

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) (1)} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.9.2

Cancele o fator comum.

$2 v + 2 + \frac{12}{(v - 1) (v + 1) \cdot 1} ((v - 1) (v + 1)) = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.1.9.3

Reescreva a expressão.

$2 v + 2 + 12 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.2.2

Some $2$ e $12$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 (v - 1) (v + 1))$

Etapa 3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 3.3.1.1

Fatore $4$ de $4 (v - 1) (v + 1)$ .

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Etapa 3.3.1.2

Cancele o fator comum.

$2 v + 14 = \frac{1}{4} (4 ((v - 1) (v + 1)))$

Etapa 3.3.1.3

Reescreva a expressão.

$2 v + 14 = (v - 1) (v + 1)$

Etapa 3.3.2

Expanda $(v - 1) (v + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 3.3.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v + 14 = v (v + 1) - 1 (v + 1)$

Etapa 3.3.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 (v + 1)$

Etapa 3.3.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 v + 14 = v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3

Simplifique os termos.

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Etapa 3.3.3.1

Combine os termos opostos em $v \cdot v + v \cdot 1 - 1 v - 1 \cdot 1$ .

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Etapa 3.3.3.1.1

Reorganize os fatores nos termos $v \cdot 1$ e $- 1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 1 v - 1 v - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.1.2

Subtraia $1 v$ de $1 v$ .

$2 v + 14 = v \cdot v + 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.1.3

Some $v \cdot v$ e $0$ .

$2 v + 14 = v \cdot v - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 3.3.3.2.1

Multiplique $v$ por $v$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1 \cdot 1$

Etapa 3.3.3.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 v + 14 = v^{2} - 1$

Etapa 4

Resolva a equação.

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Etapa 4.1

Subtraia $v^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 v + 14 - v^{2} = - 1$

Etapa 4.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$2 v + 14 - v^{2} + 1 = 0$

Etapa 4.3

Some $14$ e $1$ .

$2 v - v^{2} + 15 = 0$

Etapa 4.4

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 4.4.1

Fatore $- 1$ de $2 v - v^{2} + 15$ .

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Etapa 4.4.1.1

Reordene $2 v$ e $- v^{2}$ .

$- v^{2} + 2 v + 15 = 0$

Etapa 4.4.1.2

Fatore $- 1$ de $- v^{2}$ .

$- (v^{2}) + 2 v + 15 = 0$

Etapa 4.4.1.3

Fatore $- 1$ de $2 v$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) + 15 = 0$

Etapa 4.4.1.4

Reescreva $15$ como $- 1 (- 15)$ .

$- (v^{2}) - (- 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Etapa 4.4.1.5

Fatore $- 1$ de $- (v^{2}) - (- 2 v)$ .

$- (v^{2} - 2 v) - 1 \cdot - 15 = 0$

Etapa 4.4.1.6

Fatore $- 1$ de $- (v^{2} - 2 v) - 1 (- 15)$ .

$- (v^{2} - 2 v - 15) = 0$

Etapa 4.4.2

Fatore.

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Etapa 4.4.2.1

Fatore $v^{2} - 2 v - 15$ usando o método AC.

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Etapa 4.4.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 15$ e cuja soma é $- 2$ .

$- 5, 3$

Etapa 4.4.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((v - 5) (v + 3)) = 0$

Etapa 4.4.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (v - 5) (v + 3) = 0$

Etapa 4.5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$v - 5 = 0$

$v + 3 = 0$

Etapa 4.6

Defina $v - 5$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

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Etapa 4.6.1

Defina $v - 5$ como igual a $0$ .

$v - 5 = 0$

Etapa 4.6.2

Some $5$ aos dois lados da equação.

$v = 5$

Etapa 4.7

Defina $v + 3$ como igual a $0$ e resolva para $v$ .

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Etapa 4.7.1

Defina $v + 3$ como igual a $0$ .

$v + 3 = 0$

Etapa 4.7.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$v = - 3$

Etapa 4.8

A solução final são todos os valores que tornam $- (v - 5) (v + 3) = 0$ verdadeiro.

$v = 5, - 3$