Pré-cálculo Exemplos

$\sec (θ) \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.1

Reescreva $\sec (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (θ)} \tan (θ) - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\tan (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.3

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)} \cdot \frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

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Etapa 1.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $\frac{\sin (θ)}{\cos (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.3.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.3.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.3.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (θ)}{{\cos (θ)}^{1 + 1}} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.3.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \cot (θ) = \sin (θ)$

Etapa 1.1.4

Reescreva $\cot (θ)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 1.1.5

Multiplique $- \cos (θ) \frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ .

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Etapa 1.1.5.1

Combine $\frac{\cos (θ)}{\sin (θ)}$ e $\cos (θ)$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 1.1.5.2

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 1.1.5.3

Eleve $\cos (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{1} (θ) \cos^{1} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 1.1.5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{{\cos (θ)}^{1 + 1}}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 1.1.5.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ)$

Etapa 2

Multiplique os dois lados da equação por $\sin (θ)$ .

$\sin (θ) (\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 3

Aplique a propriedade distributiva.

$\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 4

Multiplique $\sin (θ) \frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

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Etapa 4.1

Combine $\sin (θ)$ e $\frac{\sin (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ .

$\frac{\sin (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 4.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 4.3

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{{\sin (θ)}^{1 + 1}}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 4.5

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) (- \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)}) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 5

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \sin (θ) \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 6

Cancele o fator comum de $\sin (θ)$ .

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Etapa 6.1

Fatore $\sin (θ)$ de $- \sin (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} + \sin (θ) \cdot - 1 \frac{\cos^{2} (θ)}{\sin (θ)} = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin (θ) \sin (θ)$

Etapa 7

Multiplique $\sin (θ) \sin (θ)$ .

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Etapa 7.1

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin (θ)$

Etapa 7.2

Eleve $\sin (θ)$ à potência de $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{1} (θ) \sin^{1} (θ)$

Etapa 7.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = {\sin (θ)}^{1 + 1}$

Etapa 7.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) = \sin^{2} (θ)$

Etapa 8

Subtraia $\sin^{2} (θ)$ dos dois lados da equação.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 9

Simplifique $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - \cos^{2} (θ) - \sin^{2} (θ)$ .

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Etapa 9.1

Fatore $- 1$ de $- \cos^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - \sin^{2} (θ) = 0$

Etapa 9.2

Fatore $- 1$ de $- \sin^{2} (θ)$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 9.3

Fatore $- 1$ de $- (\cos^{2} (θ)) - (\sin^{2} (θ))$ .

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\cos^{2} (θ) + \sin^{2} (θ)) = 0$

Etapa 9.4

Reorganize os termos.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - (\sin^{2} (θ) + \cos^{2} (θ)) = 0$

Etapa 9.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)} - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 9.6

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.6.1

Converta de $\frac{\sin^{2} (θ)}{\cos^{2} (θ)}$ em $\tan^{2} (θ)$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 \cdot 1 = 0$

Etapa 9.6.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\tan^{2} (θ) - 1 = 0$

Etapa 10

Resolva $θ$ .

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Etapa 10.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$\tan^{2} (θ) = 1$

Etapa 10.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (θ) = \pm \sqrt{1}$

Etapa 10.3

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\tan (θ) = \pm 1$

Etapa 10.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 10.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$\tan (θ) = 1$

Etapa 10.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$\tan (θ) = - 1$

Etapa 10.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$\tan (θ) = 1, - 1$

Etapa 10.5

Estabeleça cada uma das soluções para resolver $θ$ .

$\tan (θ) = 1$

$\tan (θ) = - 1$

Etapa 10.6

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = 1$ .

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Etapa 10.6.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (1)$

Etapa 10.6.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.6.2.1

O valor exato de $\arctan (1)$ é $\frac{π}{4}$ .

$θ = \frac{π}{4}$

Etapa 10.6.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$θ = π + \frac{π}{4}$

Etapa 10.6.4

Simplifique $π + \frac{π}{4}$ .

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Etapa 10.6.4.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$θ = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 10.6.4.2

Combine frações.

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Etapa 10.6.4.2.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$θ = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Etapa 10.6.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$θ = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Etapa 10.6.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.6.4.3.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$θ = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Etapa 10.6.4.3.2

Some $4 π$ e $π$ .

$θ = \frac{5 π}{4}$

Etapa 10.6.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 10.6.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.6.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.6.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.6.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.6.6

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.7

Resolva $θ$ em $\tan (θ) = - 1$ .

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Etapa 10.7.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $θ$ de dentro da tangente.

$θ = \arctan (- 1)$

Etapa 10.7.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 10.7.2.1

O valor exato de $\arctan (- 1)$ é $- \frac{π}{4}$ .

$θ = - \frac{π}{4}$

Etapa 10.7.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$θ = - \frac{π}{4} - π$

Etapa 10.7.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 10.7.4.1

Some $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Etapa 10.7.4.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{4}$ é positivo e coterminal com $- \frac{π}{4} - π$ .

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.7.5

Encontre o período de $\tan (θ)$ .

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Etapa 10.7.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 10.7.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 10.7.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 10.7.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 10.7.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 10.7.6.1

Some $π$ com $- \frac{π}{4}$ para encontrar o ângulo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Etapa 10.7.6.2

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.7.6.3

Combine frações.

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Etapa 10.7.6.3.1

Combine $π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Etapa 10.7.6.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Etapa 10.7.6.4

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.7.6.4.1

Mova $4$ para a esquerda de $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Etapa 10.7.6.4.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Etapa 10.7.6.5

Liste os novos ângulos.

$θ = \frac{3 π}{4}$

Etapa 10.7.7

O período da função $\tan (θ)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$θ = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.8

Liste todas as soluções.

$θ = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 10.9

Consolide as respostas.

$θ = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , para qualquer número inteiro $n$