Pré-cálculo Exemplos

$4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$

Etapa 1

Substitua $u = x^{2}$ na equação. A fórmula quadrática ficará mais fácil de usar.

$4 u^{2} + 3 u - 1 = 0$

$u = x^{2}$

Etapa 2

Fatore por agrupamento.

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Etapa 2.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 4 \cdot - 1 = - 4$ e cuja soma é $b = 3$ .

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Etapa 2.1.1

Fatore $3$ de $3 u$ .

$4 u^{2} + 3 (u) - 1 = 0$

Etapa 2.1.2

Reescreva $3$ como $- 1$ mais $4$

$4 u^{2} + (- 1 + 4) u - 1 = 0$

Etapa 2.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$4 u^{2} - 1 u + 4 u - 1 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 2.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$(4 u^{2} - 1 u) + 4 u - 1 = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$u (4 u - 1) + 1 (4 u - 1) = 0$

Etapa 2.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $4 u - 1$ .

$(4 u - 1) (u + 1) = 0$

Etapa 3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Etapa 4

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 4.1

Defina $4 u - 1$ como igual a $0$ .

$4 u - 1 = 0$

Etapa 4.2

Resolva $4 u - 1 = 0$ para $u$ .

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Etapa 4.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$4 u = 1$

Etapa 4.2.2

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 4.2.2.1

Divida cada termo em $4 u = 1$ por $4$ .

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 4.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 4.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 u}{4} = \frac{1}{4}$

Etapa 4.2.2.2.1.2

Divida $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{4}$

Etapa 5

Defina $u + 1$ como igual a $0$ e resolva para $u$ .

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Etapa 5.1

Defina $u + 1$ como igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$u = - 1$

Etapa 6

A solução final são todos os valores que tornam $(4 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadeiro.

$u = \frac{1}{4}, - 1$

Etapa 7

Substitua o valor real de $u = x^{2}$ de volta na equação resolvida.

$x^{2} = \frac{1}{4}$

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 8

Resolva a primeira equação para $x$ .

$x^{2} = \frac{1}{4}$

Etapa 9

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 9.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Etapa 9.2

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Etapa 9.2.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{4}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Etapa 9.2.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 9.2.3.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Etapa 9.2.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{2}$

Etapa 9.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 9.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{2}$

Etapa 9.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Etapa 10

Resolva a segunda equação para $x$ .

${(x^{2})}^{1} = - 1$

Etapa 11

Resolva a equação para $x$ .

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Etapa 11.1

Remova os parênteses.

$x^{2} = - 1$

Etapa 11.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 1}$

Etapa 11.3

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i$

Etapa 11.4

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 11.4.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = i$

Etapa 11.4.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - i$

Etapa 11.4.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = i, - i$

Etapa 12

A solução para $4 x^{4} + 3 x^{2} - 1 = 0$ é $x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$ .

$x = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}, i, - i$