Pré-cálculo Exemplos

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 = X + 2$

Etapa 1

Mova todos os termos que contêm $X$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.1

Subtraia $X$ dos dois lados da equação.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 8 X + 4 - X = 2$

Etapa 1.2

Subtraia $X$ de $8 X$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 = 2$

Etapa 2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 4 - 2 = 0$

Etapa 3

Subtraia $2$ de $4$ .

$3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2 = 0$

Etapa 4

Fatore $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ usando o teste das raízes racionais.

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Etapa 4.1

Se uma função polinomial tiver coeficientes inteiros, então todo zero racional terá a forma $\frac{p}{q}$ , em que $p$ é um fator da constante e $q$ é um fator do coeficiente de maior ordem.

$p = \pm 1, \pm 2$

$q = \pm 1, \pm 3$

Etapa 4.2

Encontre todas as combinações de $\pm \frac{p}{q}$ . Essas são as raízes possíveis da função polinomial.

$\pm 1, \pm 0.\overline{3}, \pm 2, \pm 0.\overline{6}$

Etapa 4.3

Substitua $- 2$ e simplifique a expressão. Nesse caso, a expressão é igual a $0$ . Portanto, $- 2$ é uma raiz do polinômio.

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Etapa 4.3.1

Substitua $- 2$ no polinômio.

$3 {(- 2)}^{3} + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.2

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$3 \cdot - 8 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.3

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$- 24 + 9 {(- 2)}^{2} + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.4

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$- 24 + 9 \cdot 4 + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.5

Multiplique $9$ por $4$ .

$- 24 + 36 + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.6

Some $- 24$ e $36$ .

$12 + 7 \cdot - 2 + 2$

Etapa 4.3.7

Multiplique $7$ por $- 2$ .

$12 - 14 + 2$

Etapa 4.3.8

Subtraia $14$ de $12$ .

$- 2 + 2$

Etapa 4.3.9

Some $- 2$ e $2$ .

$0$

Etapa 4.4

Como $- 2$ é uma raiz conhecida, divida o polinômio por $X + 2$ para encontrar o polinômio do quociente. Então, esse polinômio pode ser usado para encontrar as raízes restantes.

$\frac{3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2}{X + 2}$

Etapa 4.5

Divida $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ por $X + 2$ .

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Etapa 4.5.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$X$

$2$

$3 X^{3}$

$9 X^{2}$

$7 X$

$2$

Etapa 4.5.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 X^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $X$ .

					$3 X^{2}$
	$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$

Etapa 4.5.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			+	$3 X^{3}$	+	$6 X^{2}$

Etapa 4.5.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 X^{3} + 6 X^{2}$ .

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$

Etapa 4.5.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$

Etapa 4.5.6

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 X^{2}$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Etapa 4.5.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $3 X^{2}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$

Etapa 4.5.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					+	$3 X^{2}$	+	$6 X$

Etapa 4.5.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $3 X^{2} + 6 X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$

Etapa 4.5.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$

Etapa 4.5.11

Tire os próximos termos do dividendo original e os coloque no dividendo atual.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Etapa 4.5.12

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $X$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $X$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$

Etapa 4.5.13

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							+	$X$	+	$2$

Etapa 4.5.14

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $X + 2$ .

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$

Etapa 4.5.15

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

				$3 X^{2}$	+	$3 X$	+	$1$
$X$	+	$2$		$3 X^{3}$	+	$9 X^{2}$	+	$7 X$	+	$2$
			-	$3 X^{3}$	-	$6 X^{2}$
					+	$3 X^{2}$	+	$7 X$
					-	$3 X^{2}$	-	$6 X$
							+	$X$	+	$2$
							-	$X$	-	$2$
										$0$

Etapa 4.5.16

Já que o resto é $0$ , a resposta final é o quociente.

$3 X^{2} + 3 X + 1$

Etapa 4.6

Escreva $3 X^{3} + 9 X^{2} + 7 X + 2$ como um conjunto de fatores.

$(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$X + 2 = 0$

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Etapa 6

Defina $X + 2$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

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Etapa 6.1

Defina $X + 2$ como igual a $0$ .

$X + 2 = 0$

Etapa 6.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$X = - 2$

Etapa 7

Defina $3 X^{2} + 3 X + 1$ como igual a $0$ e resolva para $X$ .

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Etapa 7.1

Defina $3 X^{2} + 3 X + 1$ como igual a $0$ .

$3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $3 X^{2} + 3 X + 1 = 0$ para $X$ .

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Etapa 7.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 7.2.2

Substitua os valores $a = 3$ , $b = 3$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $X$ .

$\frac{- 3 \pm \sqrt{3^{2} - 4 \cdot (3 \cdot 1)}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3

Simplifique.

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Etapa 7.2.3.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.3.1.1

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 4 \cdot 3 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 3 \cdot 1$ .

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Etapa 7.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12 \cdot 1}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.2.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{9 - 12}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.3

Subtraia $12$ de $9$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$X = \frac{- 3 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 3}$

Etapa 7.2.3.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$X = \frac{- 3 \pm i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 7.2.4

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$X = - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $(X + 2) (3 X^{2} + 3 X + 1) = 0$ verdadeiro.

$X = - 2, - \frac{3 - i \sqrt{3}}{6}, - \frac{3 + i \sqrt{3}}{6}$