Pré-cálculo Exemplos

$7 e^{x} = 6 - e^{- x}$

Etapa 1

Some $e^{- x}$ aos dois lados da equação.

$7 e^{x} + e^{- x} = 6$

Etapa 2

Reescreva $e^{- x}$ como exponenciação.

$7 e^{x} + {(e^{x})}^{- 1} = 6$

Etapa 3

Substitua $u$ por $e^{x}$ .

$7 u + u^{- 1} = 6$

Etapa 4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$7 u + \frac{1}{u} = 6$

Etapa 5

Resolva $u$ .

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Etapa 5.1

Encontre o MMC dos termos na equação.

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Etapa 5.1.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$1, u, 1$

Etapa 5.1.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$u$

Etapa 5.2

Multiplique cada termo em $7 u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ para eliminar as frações.

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Etapa 5.2.1

Multiplique cada termo em $7 u + \frac{1}{u} = 6$ por $u$ .

$7 u \cdot u + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.2.1.1

Multiplique $u$ por $u$ somando os expoentes.

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Etapa 5.2.2.1.1.1

Mova $u$ .

$7 (u \cdot u) + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 5.2.2.1.1.2

Multiplique $u$ por $u$ .

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 5.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $u$ .

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Etapa 5.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$7 u^{2} + \frac{1}{u} u = 6 u$

Etapa 5.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$7 u^{2} + 1 = 6 u$

Etapa 5.3

Resolva a equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $6 u$ dos dois lados da equação.

$7 u^{2} + 1 - 6 u = 0$

Etapa 5.3.2

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Etapa 5.3.3

Substitua os valores $a = 7$ , $b = - 6$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (7 \cdot 1)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4

Simplifique.

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Etapa 5.3.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.4.1.1

Eleve $- 6$ à potência de $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot 7 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 7 \cdot 1$ .

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Etapa 5.3.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $7$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28 \cdot 1}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.2.2

Multiplique $- 28$ por $1$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 28}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.3

Subtraia $28$ de $36$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.4

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

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Etapa 5.3.4.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.4.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 7}$

Etapa 5.3.4.2

Multiplique $2$ por $7$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$

Etapa 5.3.4.3

Simplifique $\frac{6 \pm 2 \sqrt{2}}{14}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{2}}{7}$

Etapa 5.3.5

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$u = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Etapa 6

Substitua $\frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Etapa 7

Resolva $\frac{3 + \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

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Etapa 7.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 + \sqrt{2}}{7}$

Etapa 7.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Etapa 7.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 7.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Etapa 7.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Etapa 7.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7})$

Etapa 8

Substitua $\frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ por $u$ em $u = e^{x}$ .

$\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$

Etapa 9

Resolva $\frac{3 - \sqrt{2}}{7} = e^{x}$ .

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Etapa 9.1

Reescreva a equação como $e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$ .

$e^{x} = \frac{3 - \sqrt{2}}{7}$

Etapa 9.2

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Etapa 9.3

Expanda o lado esquerdo.

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Etapa 9.3.1

Expanda $\ln (e^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Etapa 9.3.2

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Etapa 9.3.3

Multiplique $x$ por $1$ .

$x = \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Etapa 10

Liste as soluções que tornam a equação verdadeira.

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Etapa 11

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$x = \ln (\frac{3 + \sqrt{2}}{7}), \ln (\frac{3 - \sqrt{2}}{7})$

Forma decimal:

$x = - 0.46108045 \dots, - 1.48482968 \dots$